Khảo sát hàm bậc ba có chứa tham số: Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu chung về khảo sát hàm bậc ba có chứa tham số

Khảo sát hàm bậc ba có chứa tham số là một trong những nội dung trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12. Dạng toán này không chỉ kiểm tra khả năng vận dụng đạo hàm, mà còn đòi hỏi học sinh hiểu sâu về việc xử lý tham số để xác định đặc điểm của đồ thị hàm số. Việc thành thạo khảo sát các hàm này hỗ trợ rất lớn cho các bài toán liên quan đến cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, cũng như các ứng dụng thực tế trong vật lý, kỹ thuật.

2. Định nghĩa hàm bậc ba có chứa tham số

Một hàm số bậc ba có dạng tổng quát như sau:

Trong đó $a \neq 0$, và một hoặc nhiều hệ số $a$,$b$,$c$,$d$có thể chứa tham số (thường là $m$,$k$,...). Việc khảo sát hàm bậc ba có chứa tham số tức là xét sự thay đổi của các đặc điểm đồ thị (điểm cực trị, sự đồng biến, nghịch biến, giá trị lớn nhất nhỏ nhất,...) theo giá trị của tham số.

3. Các bước khảo sát hàm bậc ba có chứa tham số

1. Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số
2. Bước 2: Tính đạo hàm và giải phương trình$f'(x) = 0$ để tìm các điểm cực trị theo tham số
3. Bước 3: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến (bảng biến thiên tổng quát theo tham số)
4. Bước 4: Tính giá trị cực trị, xét tính chất đặc biệt (ví dụ khi hai cực trị trùng, hàm đơn điệu,...).
5. Bước 5: Xét sự thay đổi của đồ thị khi tham số thay đổi. Tìm các giá trị của tham số để hàm số có tính chất đặc biệt.

Chúng ta cùng xét ví dụ minh họa chi tiết:

4. Ví dụ minh họa cụ thể có lời giải

Xét hàm số $f(x)=x^3-3mx+2$với$m$là tham số thực. Khảo sát sự biến thiên và tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị.

Giải:

• Tập xác định: Do$f(x)$là đa thức nên$\mathbb{R}$.
• Đạo hàm:$f'(x) = 3x^2 - 3m$.
• Giải$f'(x)=0$:$3x^2 - 3m = 0 \Leftrightarrow x^2 = m$

Nếu $m > 0$: Có hai nghiệm $x_1 = \sqrt{m}$và $x_2 = -\sqrt{m}$. Hàm số có hai cực trị.

Nếu$m = 0$: Có nghiệm duy nhất$x=0$. (Đây là trường hợp đặc biệt, chỉ có một điểm uốn, không có cực trị thật sự).

Nếu$m < 0$: Không có nghiệm thực, hàm số không có cực trị.

Lập bảng biến thiên và xác định giá trị cực đại, cực tiểu cho$m>0$:

Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị: $f(\sqrt{m}) = (\sqrt{m})^3 - 3m\sqrt{m} + 2 = m^{3/2} - 3m^{3/2} + 2 = -2m^{3/2} + 2$

$f(-\sqrt{m}) = -(\sqrt{m})^3 + 3m\sqrt{m} + 2 = -m^{3/2} + 3m^{3/2} + 2 = 2m^{3/2} + 2$

Ta thấy điểm cực đại là $x = -\sqrt{m}$với giá trị $2m^{3/2} + 2$, điểm cực tiểu là $x = \sqrt{m}$với giá trị $-2m^{3/2} + 2$.

Bảng biến thiên sẽ phụ thuộc vào giá trị $m$. Bạn cần vẽ và phân tích dựa trên dấu của$f'(x)$trên mỗi khoảng.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

$f(x)=x^3-3m x$ với $m>0$ , minh họa bảng biến thiên: hàm tăng trên (-\infty,-\sqrt{m}) và (\sqrt{m},\infty) , giảm trên (-\sqrt{m},\sqrt{m}) , với điểm cực đại tại undefined f(x)=x^3-3m x $với$ m>0 $, minh họa bảng biến thiên: hàm tăng trên$ (-\infty,-\sqrt{m}) $và$ (\sqrt{m},\infty) $, giảm trên$ (-\sqrt{m},\sqrt{m}) $, với điểm cực đại tại$ (-\sqrt{m},2m\!\," class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

- Nếu phương trình đạo hàm bậc hai$f'(x)=0$có hai nghiệm thực phân biệt (tức là tham số thỏa mãn bất đẳng thức phù hợp), hàm số có hai cực trị.
- Nếu phương trình có nghiệm kép, hàm số có đúng một điểm uốn chứ không có cực trị thực sự.
- Nếu không có nghiệm thực, hàm số đơn điệu trên$\mathbb{R}$.
- Lưu ý: Đôi khi đề bài còn yêu cầu tìm giá trị của tham số để khoảng cách hai cực trị đạt giá trị cho trước, hoặc để hàm số nhận một cực trị hoặc giá trị đặc biệt.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Ứng dụng đạo hàm để xét cực trị, đơn điệu của hàm số.
- Cách giải phương trình bậc hai tổng quát với tham số.
- Kiến thức về đồ thị, điểm uốn, bảng biến thiên.
- Ứng dụng trong giải tích, kiểm tra hàm số đồng biến/nghịch biến.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

1. Bài 1: Khảo sát hàm số $y = x^3 + 3mx^2 + 2$với$m \in \mathbb{R}$. Tìm m để hàm số có hai cực trị phân biệt.
2. Bài 2: Cho hàm số $f(x)=x^3-3mx+1$. Tìm$m$ để giá trị cực đại là số dương.
3. Bài 3: Với hàm số $y = x^3 + bx^2 + cx + d$, tìm điều kiện của b, c để đồ thị có hai điểm cực trị cách nhau đúng 2 đơn vị.

Lời giải mẫu cho bài 1:

Hàm số $y = x^3 + 3mx^2 + 2$, đạo hàm:$y' = 3x^2 + 6mx$. Giải$y'=0$:$3x(x+2m)=0 \Leftrightarrow x=0$hoặc$x=-2m$.
Có hai nghiệm phân biệt với mọi$m$(miễn$m \neq 0$thì hai cực trị cũng phân biệt). Kiểm tra giá trị tại hai điểm.

$y(0) = 2$,$y(-2m) = (-2m)^3 + 3m(-2m)^2 + 2 = -8m^3 +12m^3 +2 = 4m^3 + 2$.

Vậy, với$m \neq 0$, luôn có hai cực trị phân biệt.

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

1. Bỏ qua khả năng đạo hàm bậc hai vô nghiệm (hàm không có cực trị)
2. Không tính đúng giá trị cực đại, cực tiểu do thay sai$x$hay tính sai dấu
3. Bỏ sót việc phân tích theo từng trường hợp giá trị tham số

9. Tóm tắt - Các điểm chính cần nhớ

- Cần nhận diện đúng dạng hàm bậc ba có chứa tham số.
- Phân tích đạo hàm và lập bảng biến thiên tổng quát, luôn xét theo tham số.
- Chú trọng các trường hợp đặc biệt khi phân tích cực trị, đơn điệu.
- Thường xuyên luyện tập các dạng bài với biến đổi tham số để thành thạo kỹ năng giải quyết bài toán.