1. Giới thiệu chung về khảo sát hàm phân thức chứa tham số

Trong chương trình toán học lớp 12, "khảo sát hàm phân thức có chứa tham số" là một nội dung trọng tâm giúp học sinh phát triển khả năng tư duy logic, phân tích đa chiều các tình huống và chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng như thi THPT Quốc gia. Việc nắm vững lý thuyết khảo sát hàm chứa tham số không chỉ giúp giải các bài toán liên quan đồ thị hàm số mà còn hỗ trợ nhiều lĩnh vực khác trong toán học cũng như trong thực tiễn ứng dụng.

2. Định nghĩa: Hàm phân thức chứa tham số là gì?

Hàm phân thức là hàm số có dạng là tỉ số của hai đa thức. Khi một hoặc nhiều hệ số trong tử số và/hoặc mẫu số là các tham số (thường ký hiệu là $m$,$a$,$b$,...), ta có "hàm phân thức chứa tham số". Ký hiệu tổng quát:

$f(x) = \frac{P(x; m)}{Q(x; m)}$

Trong đó $P(x; m)$và $Q(x; m)$là hai đa thức theo$x$và có chứa tham số $m$. Các tham số này có thể thay đổi, làm ảnh hưởng trực tiếp tới hình dáng và đặc điểm của đồ thị hàm số.

3. Các bước khảo sát hàm phân thức có tham số

Để khảo sát hàm phân thức chứa tham số, ta thực hiện tuần tự các bước sau:

• Xác định tập xác định của hàm số $D$.
• Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang (hoặc xiên nếu có).
• Tính đạo hàm để xét các đặc điểm: cực trị, đơn điệu, điểm uốn,...
• Dựa vào các điều kiện của đề bài, xác định giá trị của tham số $m$sao cho hàm số thỏa mãn các tính chất yêu cầu (ví dụ: hàm có cực trị tại một điểm cụ thể, đồ thị đi qua điểm cho trước,...).

4. Ví dụ minh hoạ từng bước khảo sát

Cho hàm số:$y = \frac{x + m}{x - 1}$, với$m$là tham số thực. Khảo sát sự biến thiên và tìm giá trị $m$ để đồ thị hàm số có cực trị tại$x = 2$.

Bước 1: Tập xác định

Hàm số xác định khi $x - 1 <br> \neq 0 \Leftrightarrow x <br> \neq 1$. Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Bước 2: Tiệm cận

- Tiệm cận đứng:$x = 1$.
- Tiệm cận ngang: Xét giới hạn khi$x \to \infty$, ta có:
$<br />\lim_{x \to \infty} \frac{x + m}{x - 1} = 1<br />$
Vậy$y = 1$là tiệm cận ngang.

Bước 3: Cực trị (tìm$m$ để hàm có cực trị tại$x = 2$)

Tính đạo hàm$y'$:
$<br />y' = \frac{(1)(x - 1) - (x + m)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - x - m}{(x - 1)^2} = \frac{-1 - m}{(x - 1)^2}<br />$
Để hàm có cực trị tại$x = 2$, cần$y'(2) = 0$:
$<br />y'(2) = \frac{-1 - m}{(2 - 1)^2} = -1 - m = 0 \Rightarrow m = -1<br />$Với$m = -1$, hàm có cực trị tại$x = 2$.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi khảo sát hàm chứa tham số

• Khi mẫu số là một đa thức có nghiệm phụ thuộc vào tham số, cần lưu ý điều kiện xác định rõ ràng cho$m$.
• Xét kỹ các trường hợp có thể xảy ra: giá trị tham số làm mất mẫu, làm đồng biến hoặc nghịch biến đặc biệt,…
• Đối với các yêu cầu đặc biệt như đồ thị đi qua điểm cho trước, đồ thị tiếp xúc với trục hoành, hoặc chứa một đoạn nằm trên đồ thị, cần thiết lập phương trình hoặc bất phương trình để tìm$m$.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khảo sát hàm phân thức chứa tham số liên quan chặt chẽ đến: - Đạo hàm, xét dấu đạo hàm (liên quan đến cực trị, tính đơn điệu)
- Bất phương trình, hệ phương trình (trong các bài toán tìm tham số)
- Tương giao đồ thị
- Ứng dụng đồ thị hàm số trong thực tiễn, giải quyết các bài toán thực tế như bài toán về giá thành sản xuất, tối ưu hóa,…

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho hàm số $y = \frac{2x + m}{x + 2}$.
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với$m = 1$.
2) Tìm$m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm$A(1;2)$.

Lời giải:
1) Với$m = 1$,$y = \frac{2x + 1}{x + 2}.$
- Tập xác định:$x <br> \neq -2$.
- Tiệm cận đứng:$x = -2$.
- Tiệm cận ngang: Khi$x \to \infty$,$y \to 2$(Hệ số bậc cao nhất).
- Đạo hàm:
$<br />y' = \frac{2(x + 2) - (2x + 1) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{2x + 4 - 2x - 1}{(x + 2)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2}<br />$
Đạo hàm luôn dương với$x <br> \neq -2$, hàm luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.
2) Hàm số đi qua$A(1;2)$:
$2 = \frac{2 \cdot 1 + m}{1 + 2} \iff 2 = \frac{2 + m}{3} \iff 2 \cdot 3 = 2 + m \iff m = 4$
Vậy$m = 4$.

Bài 2: Cho hàm số $y = \frac{x^2 + m}{x - 2}$.
Tìm$m$ để hàm số có tiệm cận ngang.

Lời giải:
Xét giới hạn khi$x \to \infty$:
$y = \frac{x^2 + m}{x - 2} \to +\infty$Vì tử số bậc 2, mẫu số bậc 1, không tồn tại tiệm cận ngang với mọi$m$.
Kết luận: Không có giá trị $m$nào để hàm số có tiệm cận ngang.

8. Những lỗi thường gặp và cách tránh

• Không xét kỹ điều kiện xác định của hàm số (dẫn đến kết quả sai).
• Quên kiểm tra lại điều kiện loại trừ của$m$sau khi tìm ra.
• Xét sai bậc tử và mẫu khi tìm tiệm cận ngang hoặc xiên.
• Viết sai công thức đạo hàm dẫn đến kết quả cực trị sai.

9. Tổng kết: Các điểm quan trọng cần nhớ

- Hàm phân thức chứa tham số rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 12.
- Cần nắm vững cách xác định tập xác định, tiệm cận, tính đạo hàm, điều kiện tham số.
- Vận dụng linh hoạt từng bước khảo sát theo yêu cầu từng bài toán.
- Luôn kiểm tra điều kiện loại trừ của tham số và kết quả.

Kiến thức này giúp rèn luyện khả năng tư duy và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng.