Khoảng Biến Thiên của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm: Khái Niệm, Ý Nghĩa và Hướng Dẫn Tính Toán

1. Giới thiệu về Khái Niệm Khoảng Biến Thiên của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm

Trong chương trình Toán lớp 12, chuyên đề Thống kê và các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm đóng vai trò quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách đánh giá sự phân tán của dữ liệu. Khoảng biến thiên là một trong những số đặc trưng đơn giản nhưng cần thiết để mô tả độ rộng của dãy số liệu, đặc biệt khi các số liệu được phân nhóm (ghép nhóm).

2. Định Nghĩa Chính Xác Khoảng Biến Thiên của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa giá trị lớn nhất của nhóm chứa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nhóm chứa giá trị nhỏ nhất trong các nhóm đã được phân chia.

Hay bằng công thức:

$<br />R = X_{max} - X_{min}<br />$

trong đó:

• $X_{max}$: giá trị lớn nhất (bờ trên của nhóm có giá trị lớn nhất)
• $X_{min}$: giá trị nhỏ nhất (bờ dưới của nhóm có giá trị nhỏ nhất)

3. Hướng Dẫn Tính Khoảng Biến Thiên với Ví Dụ Minh Họa

Giả sử chúng ta có bảng tần số phân lớp của điểm kiểm tra Toán 12 như sau:

| Lớp điểm (x)

Tần số (n)
2 - 4

5 |
| 4 - 6 | 10 |
| 6 - 8 | 12 |
| 8 - 10 | 3 |

Các bước xác định khoảng biến thiên:

• Tìm nhóm có giá trị nhỏ nhất:$2 - 4$, bờ dưới là 2
• Tìm nhóm có giá trị lớn nhất:$8 - 10$, bờ trên là 10
• Tính$R = 10 - 2 = 8$

Kết luận: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là 8 điểm.

4. Các Trường Hợp Đặc Biệt và Lưu Ý Khi Áp Dụng

• Nếu nhóm nhỏ nhất hoặc lớn nhất không xuất hiện (tần số bằng 0), hãy chọn nhóm tiếp theo có tần số lớn hơn 0.
• Khoảng biến thiên chỉ phản ánh độ rộng dữ liệu, không thể hiện cách các giá trị phân bố giữa hai đầu.

Lưu ý: Phải sử dụng giá trị bờ dưới của nhóm nhỏ nhất và giá trị bờ trên của nhóm lớn nhất, không dùng trung điểm hay giá trị ở giữa.

5. Mối Liên Hệ Với Các Khái Niệm Toán Học Khác

Khoảng biến thiên là một số đo mức độ phân tán. Ngoài nó, còn các số đo khác như phương sai, độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị. Tất cả các số này đều nhằm phục vụ mục đích đánh giá sự 'giãn cách' của dữ liệu, tuy nhiên, khoảng biến thiên đơn giản, nhanh tính nhưng dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị cực trị.

• Phương sai ($ext{Var}$): Trung bình cộng các bình phương độ lệch so với trung bình.
• Độ lệch chuẩn ($ext{SD}$): Căn bậc hai của phương sai.
• Khoảng tứ phân vị: Đo độ rộng giá trị giữa tứ phân vị thứ nhất và ba.

6. Bài Tập Mẫu và Lời Giải Chi Tiết

Bài tập 1: Cho bảng phân lớp về chiều cao (đơn vị: cm) của 30 học sinh:

| Lớp chiều cao | Số học sinh |
|:-------------:|:-----------:|
| 145 - 150 | 2 |
| 150 - 155 | 11 |
| 155 - 160 | 13 |
| 160 - 165 | 4 |

Giải:

Nhóm nhỏ nhất:$145 - 150$, bờ dưới là $145$.

Nhóm lớn nhất:$160 - 165$, bờ trên là $165$.

Khoảng biến thiên:$R = 165 - 145 = 20$

Bài tập 2: Cho bảng phân lớp điểm thi môn Lý:

| Lớp điểm | Số học sinh |
|:--------:|:-----------:|
| 1 - 3 | 0 |
| 3 - 5 | 5 |
| 5 - 7 | 9 |
| 7 - 9 | 20 |
| 9 - 11 | 7 |

Giải:

Nhóm nhỏ nhất có tần số khác 0 là $3 - 5$, bờ dưới là $3$.

Nhóm lớn nhất là $9 - 11$, bờ trên là $11$.

Không lấy$1 - 3$do tần số bằng 0.

Khoảng biến thiên:$R = 11 - 3 = 8$

7. Các Lỗi Thường Gặp và Cách Tránh

• Nhầm lẫn giữa bờ dưới với trung điểm khi lấy giá trị nhỏ nhất, và bờ trên với trung điểm khi lấy giá trị lớn nhất.
• Lấy nhóm có tần số 0 (không có số liệu) làm nhóm nhỏ nhất/lớn nhất.
• Không chú ý đến lớp điểm (nhóm) chứa giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.

8. Tóm Tắt và Các Điểm Chính Cần Nhớ

• Khoảng biến thiên là hiệu giá trị bờ trên lớn nhất trừ bờ dưới nhỏ nhất của các nhóm có dữ liệu.
• Phải chú ý nhóm có tần số lớn hơn 0 khi xác định hai giá trị này.
• Khoảng biến thiên giúp nhận biết độ rộng phân bố mẫu số liệu một cách đơn giản và nhanh chóng.
• Luôn kiểm tra lại bài làm để tránh nhầm lẫn khi chọn giá trị và tránh các lỗi thường gặp.