Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: Khái niệm, cách tính và ứng dụng (Toán 12)

1. Giới thiệu về khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong thống kê toán học lớp 12, khi làm việc với các mẫu số liệu lớn hoặc dữ liệu không lặp lại nhiều, việc ghép nhóm dữ liệu vào các khoảng (hay lớp) trở nên cần thiết. Một trong những đặc trưng quan trọng để đo mức độ phân tán của một tập hợp số liệu là "khoảng biến thiên". Khoảng biến thiên giúp chúng ta nhanh chóng nhận biết sự chênh lệch lớn nhất giữa các giá trị trong mẫu dữ liệu. Đặc biệt với mẫu số liệu ghép nhóm – tức là dữ liệu được phân thành các lớp hoặc nhóm nhỏ – cách tính khoảng biến thiên cũng có những điểm khác biệt so với dữ liệu không ghép nhóm. Việc hiểu và vận dụng đúng khái niệm này rất quan trọng cho các bài tập thống kê trong chương trình Toán lớp 12 cũng như các kỳ thi quốc gia.

2. Định nghĩa khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có trong tập dữ liệu sau khi đã được chia thành các lớp (hoặc nhóm). Do các giá trị không được liệt kê cụ thể mà phân loại thành khoảng, ta lấy:

Khoảng biến thiên$R$ được tính bằng công thức:

R = x_{max} - x_{min}

Trong đó: -$x_{max}$là giá trị lớn nhất trong khoảng của lớp cuối cùng (cận trên của lớp cuối).
-$x_{min}$là giá trị nhỏ nhất trong khoảng của lớp đầu tiên (cận dưới của lớp đầu).

3. Hướng dẫn tính khoảng biến thiên với ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có một bảng số liệu về điểm kiểm tra của 40 học sinh được ghép nhóm thành các lớp như sau:

Lớp điểm | Số học sinh
--- | ---
[3; 5) | 5
[5; 7) | 12
[7; 9) | 17
[9; 11] | 6

Với bảng này:

- Lớp đầu tiên: [3; 5), cận dưới là 3
- Lớp cuối cùng: [9; 11], cận trên là 11

Vậy khoảng biến thiên là:

R = 11 - 3 = 8

Như vậy, khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 8 điểm.

4. Một số trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu lớp đầu hoặc lớp cuối không có số liệu (số học sinh bằng 0), ta phải chọn cận trên của lớp cuối cùng có số liệu và cận dưới của lớp đầu tiên có số liệu để tính.
- Cần xác định rõ dữ liệu chia lớp ở dạng [a; b), [a; b], hay (a; b] để chọn đúng cận dưới hoặc trên.
- Nếu các lớp có độ rộng (khoảng cách giữa cận trên và dưới) khác nhau, vẫn lấy đúng cận dưới của lớp đầu tiên và cận trên của lớp cuối cùng, không lấy giá trị trung bình hay trung vị.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Khoảng biến thiên là một trong các số đo mức độ phân tán, ngoài ra còn có phương sai, độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị...
- Trong mẫu số liệu ghép nhóm, việc so sánh khoảng biến thiên giữa các tập dữ liệu giúp đánh giá sơ bộ sự phân bố và tính chất phân tán của dữ liệu (dù không thể hiện đầy đủ như độ lệch chuẩn).
- Khái niệm này liên quan trực tiếp đến việc xác định các giá trị cực trị (nhỏ nhất, lớn nhất) cho dữ liệu dạng lớp (nhóm).

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Bảng sau đây là số liệu về chiều cao (tính bằng cm) của 30 học sinh được ghép nhóm như sau: Lớp chiều cao | Số học sinh
--- | ---
[145; 150) | 3
[150; 155) | 5
[155; 160) | 12
[160; 165) | 7
[165; 170] | 3 Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên.

Lời giải:

- Cận dưới lớp đầu: 145
- Cận trên lớp cuối: 170

Vậy khoảng biến thiên:
$R = 170 - 145 = 25$

Đáp số: 25 (cm)

Bài 2: Trong một mẫu số liệu về điểm thi, các điểm được chia thành các lớp như sau: Lớp điểm | Số học sinh
--- | ---
[1; 3) | 0
[3; 5) | 5
[5; 7) | 9
[7; 9) | 10
[9; 10] | 2 Hỏi khoảng biến thiên là bao nhiêu?

Lời giải:
- Lớp [1; 3): 0 học sinh, bỏ qua.
- Lớp có số học sinh đầu tiên là [3; 5), cận dưới là 3.
- Lớp cuối có số học sinh là [9; 10], cận trên là 10.

Vậy khoảng biến thiên:
$R = 10 - 3 = 7$

Đáp số: 7 (điểm)

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Chọn nhầm cận trên/cận dưới khi các lớp không đều dạng; luôn kiểm tra dạng của lớp liệu là [a; b), [a; b],$(a; b].<br />- Nhầm lẫn lấy giá trị trung tâm của lớp thay vì cận (chỉ lấy cận mới đúng với định nghĩa khoảng biến thiên)$.
- Không bỏ qua các lớp không có số liệu (tần số bằng 0) ở đầu hoặc cuối bảng.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm.
- Khi đã ghép nhóm: lấy cận trên lớp cuối và cận dưới lớp đầu (có số liệu) để tính.
- Khoảng biến thiên cho biết sự phân tán giản đơn nhất của dữ liệu nhưng không phản ánh hết đặc trưng phân tán bên trong các lớp.
- Cẩn thận khi xác định cận dựa vào dạng lớp ghép nhóm và số học sinh/tần số mỗi lớp.