1. Giới thiệu về khoảng biến thiên R

Khoảng biến thiên R là một khái niệm nền tảng trong chương trình toán học lớp 12, đặc biệt thuộc chủ đề khảo sát hàm số và giải tích. Hiểu rõ về khoảng biến thiên giúp học sinh nắm bắt được quy luật tăng giảm của hàm số, lập bảng biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất - nhỏ nhất và giải quyết các bài toán thực tế.

Khoảng biến thiên được sử dụng rất nhiều trong đề thi THPT Quốc gia và các bài kiểm tra định kỳ, vì vậy việc hiểu đúng và áp dụng thành thạo là rất quan trọng với học sinh lớp 12.

2. Định nghĩa chính xác về khoảng biến thiên R

Trong toán học, khoảng biến thiên R của hàm số là phần giao giữa tập xác định của hàm số (thường là $ext{TXĐ}$) và tập các khoảng trên trục số mà hàm số không đổi dấu đạo hàm. Khoảng này biểu diễn từng đoạn trên trục số mà tại đó hàm số giữ nguyên tính chất (tăng hoặc giảm).

Hay nói cách khác:

Khoảng biến thiên là những khoảng liên tiếp trên tập xác định của hàm số mà trên mỗi khoảng đó đạo hàm cùng dấu, do đó hàm số hoặc luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số

Đầu tiên, xác định tập xác định của hàm số $f(x)$– tức là các giá trị $x$mà $f(x)$có nghĩa.

Bước 2: Tính đạo hàm$f'(x)$

Đạo hàm$f'(x)$cho biết tốc độ thay đổi của hàm số, dấu của$f'(x)$xác định tính tăng giảm trên từng khoảng.

Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình$f'(x) = 0$và các điểm không xác định

Xác định các giá trị $x$làm$f'(x) = 0$hoặc$f'(x)$không xác định. Các điểm này chia trục số thành các khoảng.

Bước 4: Lập bảng biến thiên xác định khoảng biến thiên

Chia tập xác định thành các khoảng dựa vào các nghiệm và điểm không xác định của$f'(x)$. Kiểm tra dấu của$f'(x)$trên từng khoảng để xác định hàm số đồng biến (tăng) hoặc nghịch biến (giảm).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu đạo hàm$f'(x)$không đổi dấu trên tập xác định thì hàm số chỉ có một khoảng biến thiên duy nhất.
• Các điểm loại khỏi tập xác định (chẳng hạn mẫu số bằng$0$, căn bậc chẵn của số âm,$ext{log}(x)$với$x>0$,...) cũng là điểm tách khoảng biến thiên.
• Những khoảng không liên tục (bị gián đoạn bởi giá trị loại khỏi tập xác định) phải tách riêng khi lập bảng biến thiên.

Lưu ý: Không được gộp các khoảng bị loại khỏi tập xác định! Đặc biệt với hàm phân thức, chú ý các điểm làm mẫu số bằng$0$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khoảng biến thiên của hàm số gắn liền với các khái niệm:

• Cực trị (giá trị lớn nhất, nhỏ nhất): Các điểm mà hàm số đổi dấu đạo hàm là vị trí cực trị.
• Bảng biến thiên: Tổng hợp các khoảng biến thiên cùng giá trị hàm số tại các điểm đặc biệt giúp thể hiện toàn bộ tính chất tăng/giảm của hàm.
• Tính đơn điệu: Khoảng biến thiên là vùng hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) trên tập xác định.

6. Bài tập mẫu về khoảng biến thiên R (có lời giải chi tiết)

Bài tập 1

Tìm các khoảng biến thiên của hàm số $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$

Giải

1. Tập xác định:$D = R$

2. Tính đạo hàm:$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

3. Giải phương trình$f'(x) = 0$:

$3x^2 - 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 1; x = 3$

4. Chia trục số thành các khoảng:$(-\infty, 1)$;$(1, 3)$;$(3, +\infty)$

5. Kiểm tra dấu$f'(x)$trên từng khoảng:

• Với$x < 1$: Chọn$x = 0$,$f'(0) = 9 > 0$→ hàm số đồng biến.
• Với$1 < x < 3$: Chọn$x = 2$,$f'(2) = 3<em>4 - 12</em>2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0$→ hàm số nghịch biến.
• Với$x > 3$: Chọn$x = 4$,$f'(4) = 3<em>16 - 12</em>4 + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0$→ hàm số đồng biến

Kết luận: Hàm số đồng biến trên$(-\infty, 1)$và $(3, +\infty)$; nghịch biến trên$(1, 3)$.

Bài tập 2

Tìm khoảng biến thiên của hàm số $g(x) = \frac{2x-1}{x+1}$

Giải

• Tập xác định: $D = R \setminus \{ -1 \}$
• Tính đạo hàm:$g'(x) = \frac{2(x+1) - (2x-1)}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x+1}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}$
• $g'(x) > 0$với$x <br> \neq -1$, vậy hàm số đồng biến trên$(-\infty, -1)$và $(-1, +\infty)$.

Lưu ý:$x = -1$không thuộc tập xác định nên phải tách hai khoảng.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên loại các điểm không thuộc tập xác định khi chia khoảng – nên kiểm tra kỹ tập xác định từ đầu.
• Không kiểm tra dấu đạo hàm trên TỪNG khoảng – luôn cần thay giá trị thử vào$f'(x)$.
• Nhầm lẫn giữa cực trị và khoảng biến thiên – cực trị là các điểm đổi dấu đạo hàm, còn khoảng biến thiên là các đoạn giữa các điểm đó.
• Lẫn lộn tập xác định của hàm số với tập xác định của đạo hàm – nhớ: Đạo hàm không xác định tại đâu thì cần loại bỏ điểm đó.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Khoảng biến thiên là các khoảng trên tập xác định mà tại đó hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm.
• Chia trục số thành các khoảng bằng nghiệm của phương trình đạo hàm bằng$0$và các điểm loại khỏi tập xác định.
• Luôn kiểm tra dấu của đạo hàm trên từng khoảng để xác định tính đồng biến/nghịch biến.
• Khoảng biến thiên gắn với các khái niệm cực trị, bảng biến thiên và tính đơn điệu của hàm.
• Chú ý các lỗi thường gặp để tránh mất điểm không đáng!

Hy vọng bài viết đã giúp các bạn học sinh lớp 12 hiểu rõ, dễ dàng nắm bắt và vận dụng kiến thức về “Khoảng biến thiên R” trong ôn luyện và làm bài thi.