1. Giới thiệu về khái niệm khoảng biến thiên R

Trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt là khi xét về hàm số và khảo sát sự biến thiên (tăng/giảm) của hàm số, khái niệm khoảng biến thiên R đóng vai trò cực kỳ quan trọng. Khoảng biến thiên R giúp học sinh hiểu rõ hơn về phạm vi giá trị của biến số hoặc của hàm số trên một tập xác định, từ đó hỗ trợ giải các bài toán về khảo sát hàm số, tìm max-min, xác định tập giá trị cũng như giải các bài toán bất phương trình liên quan đến hàm số.

2. Định nghĩa chính xác về khoảng biến thiên R

Cho hàm số $y = f(x)$xác định trên tập$D$. Khi nói về khoảng biến thiên R của hàm số, ta đề cập đến những giá trị mà hàm số có thể nhận được, tức là tập các giá trị $y$sao cho tồn tại$x \in D$mà $f(x) = y$. Trong nhiều trường hợp, khoảng biến thiên R được hiểu là tập giá trị của hàm số $f$trên khoảng xác định của nó.

Định nghĩa cụ thể:

Khoảng biến thiên$R$(hay tập giá trị) của hàm số $f(x)$trên tập xác định$D$là tập hợp tất cả các giá trị $y$sao cho tồn tại ít nhất một$x \in D$thỏa mãn$f(x) = y$.

Ký hiệu:$R = \{f(x) \ | \x \in D \}$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm khoảng biến thiên R của hàm số $y = x^2$với$x \in \mathbb{R}$.

- Hàm số $y = x^2$xác định với mọi$x \in \mathbb{R}$. Để tìm khoảng biến thiên R, ta cần xác định tập hợp các giá trị $y$mà $x^2$có thể nhận được.

- Ta thấy$x^2 \geq 0$với mọi$x \in \mathbb{R}$. Vậy tập giá trị là $[0, +\infty)$.

Kết luận: Khoảng biến thiên R là $[0, +\infty)$.

Ví dụ 2: Tìm khoảng biến thiên R của hàm số $y = \frac{1}{x}$với$x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

-$y = \frac{1}{x}$không xác định tại$x = 0$. Tuy nhiên, với$x$dương nhỏ,$y$dương rất lớn, với$x$ âm nhỏ,$y$ âm rất lớn về trị tuyệt đối. Giá trị của$y$có thể là mọi số thực trừ 0.

Kết luận: Khoảng biến thiên R là $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Các bước tổng quát để tìm R của hàm số:

Bước 1: Xác định tập xác định$D$của hàm số.

Bước 2: Biến đổi, giải bất phương trình (hoặc phương trình)$y = f(x)$để tìm tất cả giá trị$y$mà phương trình có nghiệm$x \in D$.

Bước 3: Tổng hợp thành tập hợp hoặc khoảng biểu diễn khoảng biến thiên R.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Đối với hàm phân thức$y = \frac{ax + b}{cx + d}$, cần lưu ý các giá trị không xác định (mẫu số bằng 0) và nhận xét giới hạn tại các điểm đó để xác định đầy đủ R.

- Với hàm căn thức $y = \sqrt{f(x)}$, cần xét điều kiện dưới căn không âm.

- Hàm số lượng giác, logarit thường có tập xác định riêng, dẫn đến R thay đổi theo điều kiện xác định.

- Đôi khi, khoảng biến thiên R có thể là hợp hoặc giao của nhiều khoảng rời nhau.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Khoảng biến thiên R liên quan mật thiết tới tập xác định (D), trục hoành (biến$x$) và trục tung (giá trị $y$).

- Việc xác định R là nền tảng cho việc xét tính đơn điệu (tăng, giảm), xác định cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.

- Trong giải tích, tập giá trị của hàm số còn liên quan tới tích phân, đạo hàm, khảo sát hàm số.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Tìm khoảng biến thiên R của hàm số $y = 2x - 1$,$x \in \mathbb{R}$.

Giải:

Hàm số $y = 2x-1$xác định với$x \in \mathbb{R}$. Với mỗi$y$bất kỳ, tồn tại$x = \frac{y+1}{2} \in \mathbb{R}$.

Vậy R =$(-\infty, +\infty)$.

Bài 2: Tìm khoảng biến thiên R của hàm số $y = \sqrt{4 - x^2}$, $x \in [-2;2]$.

Giải:

Điều kiện xác định:$4-x^2 \geq 0 \Rightarrow x \in [-2;2]$(đúng với tập xác định đã cho).

- Giá trị lớn nhất của $y$là $\sqrt{4-0} = 2$(khi$x = 0$)

- Giá trị nhỏ nhất của $y$là $\sqrt{4-4} = 0$(khi$x = \pm 2$)

Vậy R =$[0;2]$.

Bài 3: Tìm R của$y = \frac{2x+1}{x-1}$,$x <br>e 1$.

Giải:

Giả sử $y = \frac{2x+1}{x-1} \Rightarrow y(x-1) = 2x+1 \Rightarrow yx - y = 2x + 1 \Rightarrow yx - 2x = y + 1 \Rightarrow x(y-2) = y+1$

$x = \frac{y+1}{y-2}$

Điều kiện:$x <br>e 1 \implies \frac{y+1}{y-2} <br>e 1 \implies y+1 <br>e y-2 \implies 1 <br>e -2$(luôn đúng).

Nhưng$y - 2 <br>e 0 \implies y <br>e 2$.

Vậy R = $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên xét điều kiện xác định của hàm số (ví dụ quên loại bỏ các giá trị khiến mẫu số bằng 0, căn thức âm, logarit của số không dương, v.v.).

- Hiểu nhầm giữa khoảng biến thiên R và tập xác định D: Tập xác định là tập giá trị của$x$, còn khoảng biến thiên R là tập giá trị của$y = f(x)$.

- Không kiểm tra các giá trị biên, giá trị đặc biệt (cực trị, giới hạn) của hàm số.

- Không giải thích/kiểm tra kỹ trường hợp có nhiều khoảng hoặc loại trừ giá trị (với hàm phân thức).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Khoảng biến thiên R là tập giá trị mà hàm số có thể đạt được trên tập xác định của nó.

- Để tìm R, giải phương trình/bất phương trình$y=f(x)$để xác định tất cả giá trị$y$có thể.

- Luôn xét kỹ điều kiện xác định, kiểm tra kỹ các giá trị biên, các trường hợp đặc biệt như loại trừ giá trị, giới hạn, cực trị.

- Khoảng biến thiên R là một trong những kiến thức nền tảng khi khảo sát hàm số và giải các bài toán bất phương trình, cực trị, đồ thị.