Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong chương trình Toán 12

Trong chương trình Hình học không gian lớp 12, học sinh sẽ được tiếp cận các dạng toán về đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu, trong đó bài toán xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (không giao, không song song) là dạng toán khó và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi quan trọng như THPT Quốc gia. Việc hiểu rõ khái niệm, công thức tính và các bước giải bài toán này giúp học sinh xây dựng tư duy không gian tốt và vận dụng hiệu quả trong nhiều bài toán liên quan.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là hai đường thẳng không nằm trên cùng một mặt phẳng, không cắt nhau và cũng không song song. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn thẳng ngắn nhất nối hai đường thẳng đó.

Hay nói cách khác, đó là độ dài đoạn thẳng vuông góc với cả hai đường, hai đầu mút nằm trên mỗi đường thẳng tương ứng.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử hai đường thẳng d₁ và d₂ có phương trình tham số lần lượt là:

Trong đó:

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Trong đó:

Ví dụ minh họa:

• Cho hai đường thẳng:

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương:

Chọn 1 điểm$A$thuộc$d_1$, lấy$t=0$:$A(1,0,2)$

Chọn 1 điểm$B$thuộc$d_2$, lấy$s=0$:$B(2,-1,0)$

Bước 2: Lập vectơ $\overrightarrow{AB} = (2-1, -1-0, 0-2) = (1, -1, -2)$

Bước 3: Tính$\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$(tích có hướng):

Bước 4: Tính độ lớn $|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$

Bước 5: Tính tích vô hướng$\overrightarrow{AB} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)$:

$<br />(1, -1, -2) \cdot (1, -3, -1) = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-3) + (-2) \cdot (-1) = 1 + 3 + 2 = 6<br />$

Bước 6: Áp dụng công thức:

$d = \frac{|6|}{\sqrt{11}}$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng là $\frac{6}{\sqrt{11}}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

• Bài 1: Cho$d_1: \frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{2}$và $d_2: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z}{1}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng.

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương$\vec{v}_1 = (1,-1,2)$,$\vec{v}_2 = (2,-2,1)$. Chọn$A(0,0,1)$thuộc$d_1$,$B(2,-1,0)$thuộc$d_2$. Khi đó $\overrightarrow{AB} = (2-0,-1-0,0-1) = (2,-1,-1)$.

Bước 2: Tính$<br />$
\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 =
\begin{vmatrix*}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & -1 & 2 \\
2 & -2 & 1
\\\end{vmatrix*}
= ((-1) \cdot 1 - 2 \cdot (-2), -(1 \cdot 1 - 2 \cdot 2), 1 \cdot (-2) - (-1) \cdot 2)
= ( -1+4, -(1-4), -2+2 ) = (3,3,0)
$

$|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = \sqrt{3^2+3^2+0^2} = 3\sqrt{2}$

$\overrightarrow{AB} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 3 + (-1) \cdot 0 = 6 - 3 + 0 = 3$

$d = \frac{|3|}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

• Bài tập tự giải: Cho$d_1: \frac{x-3}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z+1}{3}$và $d_2: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{-2}$. Hãy tính khoảng cách giữa hai đường này.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ