Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Khái niệm, công thức và hướng dẫn giải chi tiết

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán học lớp 12, hình học không gian đóng vai trò quan trọng giúp học sinh xây dựng nền tảng logic và tư duy phân tích hình học. Một trong những khái niệm then chốt của Chương 5 - "Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu" là "khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau". Việc hiểu và vận dụng tốt kiến thức này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán không gian hiệu quả, đồng thời liên hệ được với thực tiễn kỹ thuật, thiết kế, trắc địa, kiến trúc...

2. Định nghĩa chính xác về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không nằm cùng một mặt phẳng (không song song, không cắt nhau). Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn thẳng ngắn nhất nối điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến điểm bất kỳ trên đường thẳng kia.

Chính xác hơn: Nếu hai đường thẳng d₁ và d₂ chéo nhau, thì khoảng cách giữa chúng chính là độ dài đoạn vuông góc chung của chúng (có nghĩa là đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt lần lượt thuộc hai đường, và vuông góc với cả d₁ và d₂).

3. Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng trong không gian:

d₁:$\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$d₂:$\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d₁, d₂ là:

$d = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot (\vec{u}_1 \times \vec{u}_2)|}{|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2|}$

Trong đó:

$A(x_1, y_1, z_1)$là điểm thuộc d₁,$B(x_2, y_2, z_2)$là điểm thuộc d₂

$\overrightarrow{AB}$là véc-tơ nối từ $A$ đến$B$

$\vec{u}_1$và $\vec{u}_2$lần lượt là véc-tơ chỉ phương của d₁ và d₂

$\vec{u}_1 \times \vec{u}_2$là tích có hướng (tích vector) của hai véc-tơ chỉ phương

$\overrightarrow{AB} \cdot (\vec{u}_1 \times \vec{u}_2)$là tích vô hướng giữa véc-tơ $\overrightarrow{AB}$với tích có hướng$\vec{u}_1 \times \vec{u}_2$

4. Hướng dẫn giải từng bước với ví dụ minh họa

Xét hai đường thẳng:

d₁:$\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}$d₂:$\frac{x-2}{-1} = \frac{y-1}{0} = \frac{z}{2}$

Bước 1: Xác định véc-tơ chỉ phương và điểm thuộc mỗi đường
- d₁:$\vec{u}_1 = (1, 2, 3)$, chọn$A(1, 2, 3)$
- d₂:$\vec{u}_2 = (-1, 0, 2)$, chọn$B(2, 1, 0)$

Bước 2: Tính véc-tơ $\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AB} = (2-1, 1-2, 0-3) = (1, -1, -3)$

Bước 3: Tính tích có hướng$\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\vec{u}_1 \times \vec{u}_2 =$

= (22-30)\vec{i} - (12-3(-1))\vec{j} + (10-2(-1))\vec{k} = (4-0, -(2+3), (0+2)) = (4, -5, 2)

Bước 4: Tính tích vô hướng:
$\overrightarrow{AB} \cdot (\vec{u}_1 \times \vec{u}_2) = 1<em>4 + (-1)</em>(-5) + (-3)*2 = 4 + 5 - 6 = 3$

Bước 5: Tính độ dài $|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 25 + 4} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

Bước 6: Tính khoảng cách:
$d = \frac{|3|}{3\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Nếu$\vec{u}_1 \times \vec{u}_2 = \vec{0}$thì hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, khi đó không dùng công thức trên mà áp dụng công thức khoảng cách giữa đường thẳng và điểm (hoặc mặt phẳng chứa đường thẳng kia).

Hai đường thẳng cắt nhau thì khoảng cách là $0$.

Chọn điểm trên mỗi đường bất kỳ (thường chọn gốc của phương trình tham số) để tính$\overrightarrow{AB}$.

Kiểm tra tính chéo nhau bằng cách xác định chúng không song song và không cắt nhau (không tồn tại nghiệm đồng thời cho hệ tham số hai đường).

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau liên quan chặt chẽ đến các khái niệm:

Tích có hướng và tích vô hướng véc-tơ.

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, từ điểm đến mặt phẳng.

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian.

Việc nắm vững phép tính này là cơ sở giải các bài toán phức tạp hơn như xác định giao tuyến của các mặt phẳng, khoảng cách giữa điểm, mặt phẳng và đường thẳng trong các hình chóp, lăng trụ...

7. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:

$d_1: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+2}{3}d_2: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{1}$

- Chọn $A(0, 1, -2)$thuộc$d_1$, $B(1, 0, 0)$thuộc$d_2$. Véc-tơ chỉ phương: $\vec{u}_1 = (2,1,3)$, $\vec{u}_2 = (1, -2, 1)$-$\overrightarrow{AB} = (1-0, 0-1, 0-(-2)) = (1, -1, 2)$-

-$|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2| = \sqrt{7^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{49+1+25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$-$\overrightarrow{AB} \cdot (\vec{u}_1 \times \vec{u}_2) = 1<em>7 + (-1)</em>1 + 2*(-5) = 7 -1 -10 = -4$-$d = \frac{|-4|}{5\sqrt{3}} = \frac{4}{5\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{15}$

Bài 2: Cho hai đường thẳng sau trong không gian$Oxyz$:
$d_1: \frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{-4} = \frac{z}{2}d_2: \frac{x+2}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-3}$
Tìm khoảng cách giữa chúng.

- Chọn $A(1, -1, 0)$thuộc$d_1$, $B(-2, 0, -1)$thuộc$d_2$. Véc-tơ chỉ phương:
$\vec{u}_1 = (3, -4, 2)$, $\vec{u}_2 = (-2, 1, -3)$-$\overrightarrow{AB} = (-2-1, 0-(-1), -1-0) = (-3, 1, -1)$-

-$\overrightarrow{AB} \cdot (\vec{u}_1 \times \vec{u}_2) = -3<em>10 + 1</em>5 + (-1)*(-5) = -30 + 5 + 5 = -20$-$d = \frac{|-20|}{5\sqrt{6}} = \frac{20}{5\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Chọn sai véc-tơ chỉ phương: Luôn kiểm tra hệ số của từng biến.

Tính sai tích có hướng: Nên vẽ sơ đồ các bước hoặc sử dụng quy tắc định thức để tránh sai sót.

Nhầm lẫn thứ tự véc-tơ trong công thức (AB, BA): Luôn lấy$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$

Chưa kiểm tra kỹ hai đường đã chéo nhau chưa (nếu song song hoặc cắt nhau không áp dụng được công thức này).

9. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung.
- Áp dụng công thức:

$d = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot (\vec{u}_1 \times \vec{u}_2)|}{|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2|}$

với$\vec{u}_1$,$\vec{u}_2$là véc-tơ chỉ phương,$\overrightarrow{AB}$nối hai điểm thuộc hai đường thẳng.
- Luôn kiểm tra vị trí tương đối của hai đường thẳng trước khi áp dụng công thức.
- Chú ý các thao tác véc-tơ, đặc biệt là tích có hướng và tích vô hướng.

Tài liệu tham khảo

- SGK Toán 12, chương Hình học không gian.
- Sách chuyên đề Ôn thi THPT Quốc gia Toán Hình học.