Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm – Khái niệm, ý nghĩa và cách tính chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là một khái niệm quan trọng nằm trong chương trình toán lớp 12, đặc biệt ở chuyên đề về các số đặc trưng đo mức độ phân tán. Khái niệm này giúp học sinh hiểu sâu hơn về sự phân bố và mức độ phân tán của dữ liệu, từ đó vận dụng giải quyết các dạng bài tập thống kê thực tiễn.

Trong học tập cũng như thực tế, các số liệu thống kê thường được trình bày dưới dạng ghép nhóm (chia thành các khoảng). Do đó, hiểu và vận dụng được khoảng tứ phân vị giúp chúng ta nhận biết các vùng dữ liệu quan trọng, từ đó có cái nhìn đầy đủ về sự biến thiên và độ phân tán của dữ liệu.

2. Định nghĩa chính xác khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Khoảng tứ phân vị (ký hiệu:$I_Q$) là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) và tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) trong mẫu số liệu ghép nhóm:

$I_Q = Q_3 - Q_1$

Trong đó:

-$Q_1$(tứ phân vị thứ nhất): Giá trị mà 25% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó.
-$Q_3$(tứ phân vị thứ ba): Giá trị mà 75% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó.

Khoảng tứ phân vị cho biết sự phân tán của 50% số liệu nằm giữa$Q_1$và $Q_3$— đó là vùng "ở giữa" của mẫu số liệu ghép nhóm.

3. Các bước tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Để tính khoảng tứ phân vị, bạn cần thực hiện tuần tự các bước sau với bảng phân bố tần số ghép nhóm:

Bước 1: Lập bảng phân bố tần số (bảng tần số ghép nhóm).
Bước 2: Xác định tổng số các giá trị ($n$).
Bước 3: Tính tần số tích lũy.
Bước 4: Xác định lớp chứa$Q_1$(tứ phân vị thứ nhất) và lớp chứa$Q_3$(tứ phân vị thứ ba).
Bước 5: Tính giá trị $Q_1$và $Q_3$theo công thức:

$Q_1 = L_1 + \frac{\frac{n}{4} - F_1}{f_1} \cdot d$

$Q_3 = L_3 + \frac{\frac{3n}{4} - F_3}{f_3} \cdot d$

Trong đó:
-$L_1$,$L_3$: Cận dưới lớp chứa$Q_1$,$Q_3$;
-$F_1$,$F_3$: Tần số tích lũy lớp đứng trước lớp chứa$Q_1$,$Q_3$;
-$f_1$,$f_3$: Tần số lớp chứa$Q_1$,$Q_3$;
-$d$: Độ dài lớp (khoảng cách giữa hai cận lớp).

4. Ví dụ minh họa chi tiết

Xét bảng phân bố tần số sau:

| Lớp | Tần số |
|--------|--------|
| 10–20 | 6 |
| 20–30 | 8 |
| 30–40 | 12 |
| 40–50 | 4 |

Bước 1: Tổng số giá trị $n = 6 + 8 + 12 + 4 = 30$.

Bước 2: Tính tần số tích lũy:

| Lớp | Tần số | Tần số tích lũy |
|--------|--------|-----------------|
| 10–20 | 6 | 6 |
| 20–30 | 8 | 14 |
| 30–40 | 12 | 26 |
| 40–50 | 4 | 30 |

Bước 3: Tìm lớp chứa$Q_1$và $Q_3$

- Chỉ số $Q_1$:$\frac{n}{4} = \frac{30}{4} = 7,5$

Xét tần số tích lũy: 6 (nhỏ hơn 7,5), 14 (> 7,5). Vậy$Q_1$nằm trong lớp 20–30.

- Chỉ số $Q_3$:$\frac{3n}{4} = \frac{90}{4} = 22,5$

26 (> 22,5), 14 (< 22,5). Vậy$Q_3$nằm trong lớp 30–40.

Bước 4: Áp dụng công thức tính:
-$d = 10$(độ dài khoảng).

Tìm các giá trị phụ:
- Lớp chứa$Q_1$:$L_1 = 20$,$F_1 = 6$,$f_1 = 8$
- Lớp chứa$Q_3$:$L_3 = 30$,$F_3 = 14$,$f_3 = 12$

Tính:

$Q_1 = 20 + \frac{7,5 - 6}{8} \cdot 10 = 20 + \frac{1,5}{8} \cdot 10 = 20 + 1,875 = 21,875$

$Q_3 = 30 + \frac{22,5 - 14}{12} \cdot 10 = 30 + \frac{8,5}{12} \cdot 10 = 30 + 7,083 \approx 37,083$

Vậy:

$I_Q = Q_3 - Q_1 = 37,083 - 21,875 = 15,208$

Kết luận: Khoảng tứ phân vị của bảng số liệu là $15,208$.

5. Một số trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Đảm bảo các lớp có độ dài bằng nhau (nếu không, phải dùng chính xác độ dài từng lớp khi tính$d$).
- Khi tổng số trị số $n$không chia hết cho 4, cần lấy giá trị lẻ đúng như công thức, KHÔNG làm tròn.
- Nếu bảng có nhiều lớp, học sinh cần xác định đúng vị trí tứ phân vị bằng cách sử dụng tần số tích lũy, tránh nhầm khi chọn lớp.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Khoảng tứ phân vị là một trong những đại lượng đo độ phân tán, bên cạnh phương sai, độ lệch chuẩn, phạm vi, v.v.
- Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng nhiều bởi các giá trị ngoại lai, vì chỉ xét tập trung "vùng giữa" của bộ dữ liệu.
- Khi giải quyết các bài toán thống kê, khoảng tứ phân vị giúp phân tích dữ liệu từ các góc độ khác nhau và so sánh tập hợp dữ liệu hiệu quả hơn.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho bảng phân bố tần số như sau:

| Lớp | Tần số |
|--------|--------|
| 50–60 | 5 |
| 60–70 | 7 |
| 70–80 | 10 |
| 80–90 | 18 |
| 90–100 | 10 |

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Giải:
- Tổng số giá trị:$n = 5+7+10+18+10 = 50$

Tần số tích lũy:
| Lớp | Tần số | Tần số tích lũy |
|--------|--------|-----------------|
| 50–60 | 5 | 5 |
| 60–70 | 7 | 12 |
| 70–80 | 10 | 22 |
| 80–90 | 18 | 40 |
| 90–100 | 10 | 50 |

Chỉ số $Q_1 = \frac{n}{4} = 12,5$. Tần số tích lũy: 12 (<12,5), 22 (>12,5).$Q_1$nằm trong lớp 70–80. Cận dưới$L_1 = 70$,$F_1 = 12$,$f_1 = 10$,$d = 10$

Chỉ số $Q_3 = \frac{3n}{4} = 37,5$. 40 (>37,5), 22 (<37,5).$Q_3$nằm trong lớp 80–90.$L_3 = 80$,$F_3 = 22$,$f_3 = 18$

Tính:
$Q_1 = 70 + \frac{12,5-12}{10} \cdot 10 = 70 + 0,5 = 70,5$
$Q_3 = 80 + \frac{37,5-22}{18} \cdot 10 = 80 + \frac{15,5}{18} \cdot 10=80+8,61=88,61$

$I_Q = Q_3 - Q_1 = 88,61 - 70,5 = 18,11$

Đáp số: Khoảng tứ phân vị là $18,11$.

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Lỗi xác định sai lớp chứa tứ phân vị (do nhầm lẫn với tần số hoặc tần số tích lũy)
- Thay đổi hoặc làm tròn chỉ số mà không theo công thức
- Không tính đúng các giá trị $F_1$,$F_3$(là tần số tích lũy trước lớp chứa tứ phân vị, không phải của chính lớp đó)
- Sử dụng sai độ dài lớp$d$nếu các lớp không đều nhau

9. Tóm tắt và các điểm cần nhớ

- Khoảng tứ phân vị thể hiện mức độ phân tán của "vùng giữa" tập dữ liệu.
- Xác định lớp chứa$Q_1$và $Q_3$bằng cách dùng chỉ số $\frac{n}{4}$và $\frac{3n}{4}$.
- Sử dụng công thức:

$Q_1 = L_1 + \frac{\frac{n}{4} - F_1}{f_1} \cdot d$

$Q_3 = L_3 + \frac{\frac{3n}{4} - F_3}{f_3} \cdot d$

- Khoảng tứ phân vị:$I_Q = Q_3 - Q_1$
- Thận trọng khi chuyển đổi giữa tần số, tần số tích lũy và khi bấm máy tính.