Nguyên hàm của hàm hợp: Khái niệm, phương pháp và bài tập minh họa lớp 12

1. Giới thiệu về nguyên hàm của hàm hợp và vai trò trong chương trình Toán 12

Nguyên hàm là một trong những chủ đề trọng tâm và cơ bản trong chương trình Giải tích lớp 12. Đặc biệt, nguyên hàm của hàm hợp là kiến thức quan trọng, nằm trong hầu hết các đề thi tốt nghiệp, đại học. Việc nắm vững kiến thức này giúp học sinh giải quyết nhanh các bài toán về tích phân, tính diện tích, thể tích và ứng dụng trong vật lý cũng như các môn khoa học khác. Tuy nhiên, vì liên quan đến quy tắc biến đổi hàm số nên đây là phần nhiều học sinh còn nhầm lẫn. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu sâu, từ khái niệm, phương pháp, ví dụ, bài tập cho đến các lưu ý khi xét nguyên hàm của hàm hợp.

2. Định nghĩa: Nguyên hàm của hàm hợp là gì?

Cho hàm$u = u(x)$có đạo hàm và hàm$f$xác định trên$u(x)$. Khi đó hàm$F(u)$chính là nguyên hàm của$f(u)$theo biến$u$. Vậy muốn tính nguyên hàm của$f(u(x)) \cdot u'(x)$theo$x$, ta dùng công thức:

Đây là quy tắc đổi biến dạng đơn giản nhất (hay còn gọi là phương pháp đặt$u = u(x)$).

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm$\displaystyle \int 2x\cos(x^2)dx$

Bước 1: Đặt$u = x^2 \implies du = 2x dx$

Bước 2: Đổi biến vào bài toán ta có:

Bước 3: Quay trở lại biến$x$, ta có kết quả:

$\int 2x\cos(x^2)dx = \sin(x^2) + C$

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm$\displaystyle \int \frac{1}{x\ln x}dx$

Bước 1: Đặt$u = \ln x$, khi đó $du = \frac{1}{x}dx$

Bước 2: Thay đổi biến vào, ta có:

Bước 3: Trả về biến$x$, ta được đáp số:

$\int \frac{1}{x\ln x}dx = \ln|\ln x| + C$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu biểu thức dưới dấu tích phân không có dạng$f(u(x))u'(x)$, phải tách hoặc biến đổi về dạng này trước khi đổi biến.
- Không quên nhân thêm (hoặc chia) hệ số nếu cần; ví dụ, nguyên hàm$\int \cos(3x)dx$cần viết$\cos(3x)$thành$f(u(x))$,$u(x) = 3x$,$u'(x)=3$nên "bù trừ" hệ số như sau:

- Đối với hàm hợp phức tạp, phải chọn$u(x)$sao cho$du$xuất hiện trong tích phân, nếu không cần xét phương pháp khác (phân tích, từng phần...).
- Nên kiểm tra lại đáp án bằng đạo hàm để tránh sai sót.

5. Mối liên hệ với các khái niệm khác

- Nguyên hàm là phép toán ngược với đạo hàm:$\frac{d}{dx}F(x) = f(x) \Leftrightarrow \int f(x)dx = F(x) + C$.
- "Đổi biến trong nguyên hàm" chính là phép đổi biến trong tích phân xác định và là nguyên lý cơ bản của tích phân hàm hợp.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

- Bài 1: Tính$\displaystyle \int x^3 e^{x^4+1} dx$
Giải:
Đặt$u = x^4+1 \implies du = 4x^{3}dx \implies x^3dx = \frac{1}{4}du$
$\int x^3 e^{x^4+1} dx = \int e^{u} \cdot \frac{1}{4}du = \frac{1}{4}e^{u} + C = \frac{1}{4}e^{x^4+1} + C$

- Bài 2: Tính $\displaystyle \int \frac{\cos \ln x}{x} dx$
Giải:
Đặt $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x}dx$
$\int \frac{\cos \ln x}{x}dx = \int \cos u du = \sin u + C = \sin(\ln x) + C$

- Bài 3: Tính$\displaystyle \int \frac{2x}{1+x^2}dx$
Giải:
Đặt$u = 1 + x^2 \implies du = 2x dx$
$\int \frac{2x}{1 + x^2}dx = \int \frac{1}{u}du = \ln|u| + C = \ln|1 + x^2| + C$

7. Lỗi thường gặp và cách tránh

- Không kiểm tra lại sự xuất hiện của$u'(x)$trong biểu thức, dẫn đến thiếu/chưa đúng dạng hàm hợp.
- Quên nhân/chia hệ số khi đổi vi phân.
- Đổi biến phức tạp, chọn$u$không hợp lý hoặc khó thay lại về $x$.
- Đổi biến xong quên trả lại kết quả theo biến gốc$x$.
- Không cộng hằng số $C$sau khi tìm nguyên hàm.

8. Tóm tắt và các điểm cần nhớ

- Nguyên hàm của hàm hợp là áp dụng quy tắc đổi biến:$\int f(u(x)) u'(x)dx = \int f(u) du$
- Luôn xác định đúng$u(x)$và $u'(x)$ để không bỏ sót hệ số.
- Sau khi đổi và tính nguyên hàm xong phải trả lại biến$x$trong đáp số.
- Kiểm tra đáp số bằng phép đạo hàm.
- Đây là kiến thức nền tảng để học tiếp các chuyên đề về tích phân, ứng dụng xác suất, vật lý…