Blog

Lớp 12

Nguyên hàm từng phần: Khái niệm, cách giải và ví dụ minh họa cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về nguyên hàm từng phần và tầm quan trọng trong Toán học lớp 12

Trong chương trình Giải tích lớp 12, khái niệm "nguyên hàm từng phần" (Integration by Parts) đóng vai trò quan trọng, giúp giải quyết những bài toán nguyên hàm phức tạp. Đây là một trong các phương pháp nền tảng, không chỉ giúp học sinh xử lý các hàm số đa dạng mà còn là công cụ bước đầu tiếp cận những kiến thức cao hơn của toán học.

Việc hiểu rõ và thành thạo phương pháp này không chỉ hỗ trợ trực tiếp cho các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho các bài toán tích phân khó hơn trong thi THPT Quốc gia hoặc các kỳ thi học sinh giỏi.

2. Định nghĩa chính xác về nguyên hàm từng phần

Định nghĩa: Nếuu(x)u(x)và v(x)v(x)là hai hàm số khả vi trên một khoảng, thì công thức nguyên hàm từng phần được phát biểu như sau:

∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫v(x)u′(x)dx\int u(x) v'(x) dx = u(x)v(x) - \int v(x) u'(x) dx

Trong đó:

  • u(x)u(x): thường chọn là hàm số dễ lấy đạo hàm (càng đơn giản càng tốt).
  • v′(x)dxv'(x) dx: phần còn lại, sau khi đã táchu(x)u(x)ra khỏi biểu thức gốc.
  • v(x)v(x): là nguyên hàm (tức là hàm gốc) củav′(x)v'(x).
  • u′(x)u'(x): là đạo hàm củau(x)u(x).

    • Công thức này thường được viết tắt thành:

    ∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v du

    3. Hướng dẫn từng bước áp dụng nguyên hàm từng phần kèm ví dụ minh họa

    Để giải một nguyên hàm bằng phương pháp từng phần, hãy thực hiện các bước sau:

  • Bước 1: Chọnuuvà dvdvsao cho dễ lấy đạo hàmduduvà dễ tính nguyên hàmv=∫dvv = \int dv.
  • Bước 2: Tínhdu=u′(x)dxdu = u'(x) dxvà v=∫dvv = \int dv.
  • Bước 3: Thay vào công thức∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v duvà tiếp tục tính toán, rút gọn.

    • Ví dụ 1: Tính∫xexdx\int x e^x dx

    Giải:

  • Chọnu=xu = x(vì đạo hàm thành 1, đơn giản hơn),dv=exdxdv = e^x dx(dễ tích phân)
  • Khi đó du=dxdu = dx,v=∫exdx=exv = \int e^x dx = e^x
  • Áp dụng công thức từng phần:
    • ∫xexdx=xex−∫exdx=xex−ex+C\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C

    Vậy∫xexdx=(x−1)ex+C\int x e^x dx = (x-1)e^x + C, trong đó CClà hằng số tích phân.

    Ví dụ 2: Tính∫xcos⁡xdx\int x \cos x dx

  • Chọnu=xu = x(đạo hàm đơn giản),dv=cos⁡xdxdv = \cos x dx
  • Khi đó du=dxdu = dx, v=∫cos⁡xdx=sin⁡xv = \int \cos x dx = \sin x
    • ∫xcos⁡xdx=xsin⁡x−∫sin⁡xdx=xsin⁡x+cos⁡x+C\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C

    Vậy ∫xcos⁡xdx=xsin⁡x+cos⁡x+C\int x \cos x dx = x \sin x + \cos x + C.

    4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi sử dụng nguyên hàm từng phần

  • Nếu lựa chọnuuvà dvdvkhông thích hợp, biểu thức thu được có thể còn phức tạp hơn ban đầu. Do đó, nên ưu tiên chọnuulà đa thức,dvdvlà hàm mũ, lượng giác hoặc logarit có nguyên hàm đơn giản.
  • Có thể phải áp dụng nhiều lần phương pháp từng phần, đặc biệt với các bài nguyên hàm như ∫x2exdx\int x^2 e^x dx, v.v.
  • Phương pháp chọnuuthường ưu tiên: Logarit→\rightarrowHàm đa thức→\rightarrowHàm lượng giác→\rightarrowHàm mũ. (Dễ nhớ theo thứ tự: LIATE=Log, Inverse, Algebraic, Trigonometric, Exponential)

    • 5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

    Phương pháp nguyên hàm từng phần có nguồn gốc từ quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số:

    (u(x)v(x))′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

    Khi tích phân hai vế, ta thu được công thức nguyên hàm từng phần. Đây là một cách "đảo ngược" quy tắc đạo hàm tích.

    Ngoài ra, nguyên hàm từng phần là cơ sở lý thuyết để phát triển các công cụ tích phân như tích phân từng phần trong xác suất, vật lý, kỹ thuật.

    6. Các bài tập mẫu về nguyên hàm từng phần kèm lời giải chi tiết

    Bài tập 1: Tính∫x2exdx\int x^2 e^x dx

    Giải:

    • Chọnu=x2u = x^2,dv=exdx⇒du=2xdxdv = e^x dx \Rightarrow du = 2x dx,v=exv = e^x
    ∫x2exdx=x2ex−∫2xexdx\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx

    Đến đây, lại áp dụng nguyên hàm từng phần cho∫2xexdx\int 2x e^x dx:

    • Chọnu1=xu_1 = x,dv1=exdx⇒du1=dxdv_1 = e^x dx \Rightarrow du_1 = dx,v1=exv_1 = e^x
    ∫xexdx=xex−∫exdx=xex−ex+C\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C
    ∫x2exdx=x2ex−2[xex−ex]+C=x2ex−2xex+2ex+C\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2[x e^x - e^x] + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C

    Bài tập 2: Tính∫xln⁡xdx\int x \ln x dx

    • Chọnu=ln⁡xu = \ln x,dv=xdx⇒du=1xdxdv = x dx \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx,v=x22v = \frac{x^2}{2}
    ∫xln⁡xdx=ln⁡x⋅x22−∫x22⋅1xdx=x22ln⁡x−∫x2dx=x22ln⁡x−14x2+C\int x \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{4} x^2 + C

    7. Các lỗi thường gặp khi giải nguyên hàm từng phần và cách khắc phục

  • Chọn saiuuvà dvdv, dẫn đến nguyên hàm sau còn phức tạp hơn trước. Giải pháp: Trước khi chọn, hãy cân nhắc kỹ và thử lựa chọn khác nếu thấy không hiệu quả.
  • Tính sai đạo hàmduduhoặc nguyên hàmvv, dẫn tới kết quả sai. Giải pháp: Cần cẩn thận và kiểm tra từng bước.
  • Quên cộng hằng số CC ở cuối kết quả. Giải pháp: Luôn nhớ thêm+C+C(với nguyên hàm không xác định).
  • Áp dụng nguyên hàm từng phần cho những hàm có thể giải được bằng phương pháp đơn giản hơn. Giải pháp: Luôn thử phương án đơn giản trước.

    • 8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • Nguyên hàm từng phần là công cụ chuyển đổi dạng nguyên hàm, dựa trên quy tắc đạo hàm tích.
  • Chọnuuvà dvdvhợp lý để quá trình tính toán đơn giản hơn.
  • Có thể phải áp dụng nhiều lần hoặc kết hợp với các phương pháp nguyên hàm khác.
  • Cẩn thận khi lấy đạo hàm, nguyên hàm và nhớ hằng số CC.
  • Luyện tập nhiều sẽ quen với việc nhận diện và xử lý các loại bài toán thường dùng phương pháp từng phần.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".