Nguyên hàm từng phần: Giải thích chi tiết và hướng dẫn học sinh lớp 12
1. Giới thiệu về khái niệm nguyên hàm từng phần và tầm quan trọng trong chương trình toán học lớp 12
Trong chương trình giải tích lớp 12, bên cạnh các phương pháp cơ bản tìm nguyên hàm, "nguyên hàm từng phần" là một kỹ thuật quan trọng, giúp giải các nguyên hàm phức tạp mà không thể đơn giản hóa bằng phép biến đổi thông thường. Phương pháp này không chỉ xuất hiện thường xuyên trong các bài tập giải tích mà còn là nền tảng cho nhiều bài toán tích phân và ứng dụng thực tiễn trong vật lý, kỹ thuật.
2. Định nghĩa chính xác về nguyên hàm từng phần
Phương pháp nguyên hàm từng phần bắt nguồn từ quy tắc đạo hàm của một tích hai hàm số. Cụ thể:
Nếuvà là các hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng xác định, ta có công thức:
u(x)v(x)\int: thường chọn là hàm đa thức, logarit, hoặc hàm dễ đạo hàm hơn.
Tuỳ từng bài toán mà ta linh hoạt chọnvà để việc tính nguyên hàm trở nên dễ dàng hơn.
3. Giải thích nguyên hàm từng phần qua từng bước với ví dụ minh họa
Để áp dụng nguyên hàm từng phần, bạn thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Xác địnhvà từ biểu thức cần tính nguyên hàm.
- Bước 2: Tính đạo hàmvà nguyên hàm.
- Bước 3: Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần.
- Bước 4: Tính toán và rút gọn kết quả.
Ví dụ 1: Tính
Bước 1: Chọn(đạo hàm dễ),(nguyên hàm dễ).
Bước 2:,
Bước 3: Áp dụng công thức:
x e^{x} dx = x e^{x} -e^{x} dx = x e^{x} - e^{x} + C
Kết quả:
Ví dụ 2: Tính
Bước 1: Chọn(vì đạo hàm là đơn giản)dv = x dx" data-math-type="inline"> undefined
Trong đó:
- : thường chọn là hàm đa thức, logarit, hoặc hàm dễ đạo hàm hơn.
- : phần còn lại, thường là hàm lượng giác, expo, hoặc hàm dễ tích phân hơn.
Tuỳ từng bài toán mà ta linh hoạt chọnvà để việc tính nguyên hàm trở nên dễ dàng hơn.
3. Giải thích nguyên hàm từng phần qua từng bước với ví dụ minh họa
Để áp dụng nguyên hàm từng phần, bạn thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Xác địnhvà từ biểu thức cần tính nguyên hàm.
- Bước 2: Tính đạo hàmvà nguyên hàm.
- Bước 3: Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần.
- Bước 4: Tính toán và rút gọn kết quả.
Ví dụ 1: Tính
Bước 1: Chọn(đạo hàm dễ),(nguyên hàm dễ).
Bước 2:,
Bước 3: Áp dụng công thức:
x e^{x} dx = x e^{x} -e^{x} dx = x e^{x} - e^{x} + C
Kết quả:
Ví dụ 2: Tính
Bước 1: Chọn(vì đạo hàm là đơn giản)dv = x dx$ .
Bước 2:,
Bước 3: Áp dụng công thức:
4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng nguyên hàm từng phần
- Có một số dạng nguyên hàm cần áp dụng nhiều lần nguyên hàm từng phần mới ra kết quả. - Nếu khi áp dụng, nguyên hàm thu được quay lại ban đầu, hãy đưa về phương trình để giải.
Ví dụ 3: Tính
Chọn , . Ta có:
--
Áp dụng công thức:
e^{x}x dx =x e^{x} -e^{x} x dx
Với , lại tiếp tục dùng từng phần:
- Chọn , -,
e^{x}x dx =x e^{x} - e^{x} (-x) dx =x e^{x} +e^{x} x dx
Đặt thì:
I = \sin x e^{x} - \cos x e^{x} - I
Lưu ý khi chọn hàmvà
- Ưu tiên chọnlà hàm số đa thức, logarit hoặc hàm giảm bậc khi đạo hàm.
- Tránh chọnlà hàm lượng giác, mũ, hoặc khi đạo hàm làm biểu thức phức tạp hơn.
- Có thể dùng nguyên tắc "LIATE": Logarit, Inverse, Đại số, Lượng giác, Exponential (mũ) để ưu tiên chọn thứ tự.
5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác
- Liên hệ đạo hàm của một tích hai hàm số:
- Nguyên hàm từng phần là "đảo ngược" của quy tắc đạo hàm tích.
- Ứng dụng trong tính tích phân xác định:.
- Kết hợp với các phương pháp khác như đổi biến số, tách phân thức...
6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết
Bài 1. Tính
Lời giải:
Chọn,
,
Tiếp tục với:
Chọn,;
,\int\int\int(x e^{x} - e^{x})$= x^2 e^{x} - 2x e^{x} + 2e^{x} + C
Bài 2. Tính
Chọn , , xx dx = xx -x dx = xx + x + C
7. Các lỗi thường gặp và cách tránh khi sử dụng nguyên hàm từng phần
- Chọn saikhiến nguyên hàm trở nên phức tạp hơn: Sử dụng nguyên tắc LIATE để ưu tiên chọn.
- Quên dấu âm khi áp dụng công thức, đặc biệt khi đạo hàm hay nguyên hàm các hàm lượng giác.
- Không nhận ra trường hợp cần lặp lại nguyên hàm từng phần và thiết lập phương trình đại số.
- Không thêm hằng số cuối kết quả.
- Viết sai hoặc nhầm lẫn giữavà .
8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ về nguyên hàm từng phần
- Công thức nguyên hàm từng phần:
- Chọnvà phù hợp để việc tính toán dễ dàng hơn. Có thể dùng thứ tự LIATE.
- Có thể phải áp dụng nhiều lần hoặc giải phương trình khi nguyên hàm quay về vế ban đầu.
- Luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách đạo hàm biểu thức trả lời.
- Thường xuyên rèn luyện các dạng bài tập nguyên hàm từng phần để thành thạo áp dụng.
Hy vọng qua bài viết này, các bạn học sinh sẽ hiểu sâu sắc và áp dụng thành thạo phương pháp nguyên hàm từng phần trong chương trình Toán 12. Đây là kiến thức trọng tâm trong kiểm tra, ôn luyện thi đại học và rất hữu ích cho các môn học sau này.
Danh mục:
Tác giả
Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.
Theo dõi chúng tôi tại