Blog

Nguyên hàm từng phần: Giải thích chi tiết và hướng dẫn học sinh lớp 12

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm nguyên hàm từng phần và tầm quan trọng trong chương trình toán học lớp 12

Trong chương trình giải tích lớp 12, bên cạnh các phương pháp cơ bản tìm nguyên hàm, "nguyên hàm từng phần" là một kỹ thuật quan trọng, giúp giải các nguyên hàm phức tạp mà không thể đơn giản hóa bằng phép biến đổi thông thường. Phương pháp này không chỉ xuất hiện thường xuyên trong các bài tập giải tích mà còn là nền tảng cho nhiều bài toán tích phân và ứng dụng thực tiễn trong vật lý, kỹ thuật.

2. Định nghĩa chính xác về nguyên hàm từng phần

Phương pháp nguyên hàm từng phần bắt nguồn từ quy tắc đạo hàm của một tích hai hàm số. Cụ thể:

Nếuu(x)u(x)v(x)v(x)là các hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng xác định, ta có công thức:

\intu(x)v(x)dx=u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x)-\intu(x)u(x): thường chọn là hàm đa thức, logarit, hoặc hàm dễ đạo hàm hơn.

  • v(x)v'(x): phần còn lại, thường là hàm lượng giác, expo, hoặc hàm dễ tích phân hơn.
  • Tuỳ từng bài toán mà ta linh hoạt chọnuuvv' để việc tính nguyên hàm trở nên dễ dàng hơn.

    3. Giải thích nguyên hàm từng phần qua từng bước với ví dụ minh họa

    Để áp dụng nguyên hàm từng phần, bạn thực hiện các bước sau:

    • Bước 1: Xác địnhu(x)u(x)v(x)v'(x)từ biểu thức cần tính nguyên hàm.
    • Bước 2: Tính đạo hàmu(x)u'(x)và nguyên hàmv(x)v(x).
    • Bước 3: Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần.
    • Bước 4: Tính toán và rút gọn kết quả.

    Ví dụ 1: Tínhxexdx\int x e^{x} dx

    Bước 1: Chọnu=xu = x(đạo hàm dễ),dv=exdxdv = e^{x} dx(nguyên hàm dễ).

    Bước 2:du=dxdu = dx,v=exdx=exv = \int e^{x} dx = e^{x}

    Bước 3: Áp dụng công thức:

    \intx e^{x} dx = x e^{x} -\inte^{x} dx = x e^{x} - e^{x} + C

    Kết quả:xexdx=(x1)ex+C\int x e^{x} dx = (x - 1)e^{x} + C

    Ví dụ 2: Tínhxlnx\dx\int x \ln x \dx

    Bước 1: Chọnu=lnxu = \ln x(vì đạo hàm là 1/x1/x đơn giản),,dv = x dx" data-math-type="inline"> undefined

    Trong đó:

    • u(x)u(x): thường chọn là hàm đa thức, logarit, hoặc hàm dễ đạo hàm hơn.
    • v(x)v'(x): phần còn lại, thường là hàm lượng giác, expo, hoặc hàm dễ tích phân hơn.

    Tuỳ từng bài toán mà ta linh hoạt chọnuuvv' để việc tính nguyên hàm trở nên dễ dàng hơn.

    3. Giải thích nguyên hàm từng phần qua từng bước với ví dụ minh họa

    Để áp dụng nguyên hàm từng phần, bạn thực hiện các bước sau:

    • Bước 1: Xác địnhu(x)u(x)v(x)v'(x)từ biểu thức cần tính nguyên hàm.
    • Bước 2: Tính đạo hàmu(x)u'(x)và nguyên hàmv(x)v(x).
    • Bước 3: Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần.
    • Bước 4: Tính toán và rút gọn kết quả.

    Ví dụ 1: Tínhxexdx\int x e^{x} dx

    Bước 1: Chọnu=xu = x(đạo hàm dễ),dv=exdxdv = e^{x} dx(nguyên hàm dễ).

    Bước 2:du=dxdu = dx,v=exdx=exv = \int e^{x} dx = e^{x}

    Bước 3: Áp dụng công thức:

    \intx e^{x} dx = x e^{x} -\inte^{x} dx = x e^{x} - e^{x} + C

    Kết quả:xexdx=(x1)ex+C\int x e^{x} dx = (x - 1)e^{x} + C

    Ví dụ 2: Tínhxlnx\dx\int x \ln x \dx

    Bước 1: Chọnu=lnxu = \ln x(vì đạo hàm là 1/x1/x đơn giản),,dv = x dx$ .

    Bước 2:du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx,v=xdx=x22v = \int x dx = \frac{x^2}{2}

    Bước 3: Áp dụng công thức:

    xlnxdx=lnxx22x221xdx\int x \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx

    lnxx2212xdx=x22lnx14x2+C\Rightarrow \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{4}x^2 + C

    4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng nguyên hàm từng phần

    - Có một số dạng nguyên hàm cần áp dụng nhiều lần nguyên hàm từng phần mới ra kết quả. - Nếu khi áp dụng, nguyên hàm thu được quay lại ban đầu, hãy đưa về phương trình để giải.

    Ví dụ 3: Tính exsinxdx\int e^{x} \sin x dx

    Chọn u=sinxu = \sin x, dv=exdxdv = e^{x} dx. Ta có:

    -du=cosxdxdu = \cos x dx-v=exv = e^{x}

    Áp dụng công thức:

    \inte^{x}sin\sinx dx =sin\sinx e^{x} -\inte^{x}cos\cos x dx

    Với excosxdx\int e^{x} \cos x dx, lại tiếp tục dùng từng phần:
    - Chọn u=cosxu = \cos x, dv=exdxdv = e^{x} dx-du=sinxdxdu = -\sin x dx, v=exv = e^{x}

    \inte^{x}cos\cosx dx =cos\cosx e^{x} -\int e^{x} (-sin\sinx) dx =cos\cosx e^{x} +\inte^{x}sin\sin x dx

    Đặt I=exsinxdxI = \int e^{x} \sin x dx thì:

    I=sinxex[cosxex+I]<br/>I = \sin x e^{x} - [\cos x e^{x} + I] <br />I = \sin x e^{x} - \cos x e^{x} - I<br/>2I=sinxexcosxex<br /> 2I = \sin x e^{x} - \cos x e^{x}
    I=ex2(sinxcosx)+CI = \frac{e^{x}}{2} (\sin x - \cos x) + C

    Lưu ý khi chọn hàmuudvdv

    • Ưu tiên chọnuulà hàm số đa thức, logarit hoặc hàm giảm bậc khi đạo hàm.
    • Tránh chọnuulà hàm lượng giác, mũ, hoặc khi đạo hàm làm biểu thức phức tạp hơn.
    • Có thể dùng nguyên tắc "LIATE": Logarit, Inverse, Đại số, Lượng giác, Exponential (mũ) để ưu tiên chọn thứ tự.

    5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

    - Liên hệ đạo hàm của một tích hai hàm số:[uv]=uv+uv[uv]' = u'v + uv'

    - Nguyên hàm từng phần là "đảo ngược" của quy tắc đạo hàm tích.

    - Ứng dụng trong tính tích phân xác định:abu(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]ababu(x)v(x)dx\int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)v(x) dx.

    - Kết hợp với các phương pháp khác như đổi biến số, tách phân thức...

    6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    Bài 1. Tínhx2exdx\int x^2 e^{x} dx

    Lời giải:
    Chọnu=x2u = x^2,dv=exdxdv = e^{x}dx
    du=2xdx\to du = 2x dx,v=exv = e^{x}

    x2exdx=x2ex2xexdx\int x^2 e^{x} dx = x^2 e^{x} - \int 2x e^{x} dx
    Tiếp tục với2xexdx\int 2x e^{x} dx:

    Chọnu=xu = x,dv=exdxdv = e^{x}dx;
    du=dxdu = dx,v=exv = e^{x}\intxexdx=xexx e^{x} dx = x e^{x} -\intexdx=xexexQuaylibaˋitp:e^{x} dx = x e^{x} - e^{x} Quay lại bài tập:\intx2exdx=x2ex2x^2 e^{x} dx = x^2 e^{x} - 2(x e^{x} - e^{x})$= x^2 e^{x} - 2x e^{x} + 2e^{x} + C

    Bài 2. Tínhxcosxdx\int x \cos x dx

    Chọn u=xu = x, dv=cosxdxdu=dxdv = \cos x dxdu = dx, v=sinxv = \sin x \intxcos\cosx dx = xsin\sinx -sin\int\sinx dx = xsin\sinx +cos\cos x + C

    7. Các lỗi thường gặp và cách tránh khi sử dụng nguyên hàm từng phần

    • Chọn saiuukhiến nguyên hàm trở nên phức tạp hơn: Sử dụng nguyên tắc LIATE để ưu tiên chọnuu.
    • Quên dấu âm khi áp dụng công thức, đặc biệt khi đạo hàm hay nguyên hàm các hàm lượng giác.
    • Không nhận ra trường hợp cần lặp lại nguyên hàm từng phần và thiết lập phương trình đại số.
    • Không thêm hằng số CCcuối kết quả.
    • Viết sai hoặc nhầm lẫn giữau,vu, v'u,vu', v.

    8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ về nguyên hàm từng phần

    • Công thức nguyên hàm từng phần:udv=uvvdu\int u dv = uv - \int v du
    • Chọnuudvdvphù hợp để việc tính toán dễ dàng hơn. Có thể dùng thứ tự LIATE.
    • Có thể phải áp dụng nhiều lần hoặc giải phương trình khi nguyên hàm quay về vế ban đầu.
    • Luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách đạo hàm biểu thức trả lời.
    • Thường xuyên rèn luyện các dạng bài tập nguyên hàm từng phần để thành thạo áp dụng.

    Hy vọng qua bài viết này, các bạn học sinh sẽ hiểu sâu sắc và áp dụng thành thạo phương pháp nguyên hàm từng phần trong chương trình Toán 12. Đây là kiến thức trọng tâm trong kiểm tra, ôn luyện thi đại học và rất hữu ích cho các môn học sau này.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".