Nguyên hàm từng phần – Khái niệm, ứng dụng và hướng dẫn giải Toán 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của nguyên hàm từng phần

Trong chương trình Toán lớp 12, nguyên hàm là một vấn đề then chốt trong Giải tích, giúp học sinh hiểu sâu về tích phân và các ứng dụng thực tiễn của toán học. Tuy nhiên, không phải mọi nguyên hàm đều tính được trực tiếp bằng các công thức cơ bản. Khi gặp những hàm số là tích của hai hàm và không thể tích phân trực tiếp, nguyên hàm từng phần là một phương pháp mạnh mẽ để giải quyết bài toán. Việc nắm vững nguyên hàm từng phần không chỉ giúp các em tự tin giải quyết các bài tập phức tạp mà còn là nền tảng quan trọng để học tiếp các kiến thức về tích phân và giải các bài toán thực tế.

2. Định nghĩa chính xác và công thức nguyên hàm từng phần

Nguyên hàm từng phần dựa trên quy tắc đạo hàm của một tích hai hàm số. Nếu$u = u(x)$,$v = v(x)$là các hàm số khả vi trên một khoảng$I$, thì ta có công thức:

$\int$u(x)$v'(x)\, dx = u(x)$v(x)$-$\int$u'(x)v(x)\, dx

Hoặc ngắn gọn hơn:

$\int$u\, dv = uv -$\int$v\, du

Trong đó:

• $u$là một hàm chọn lọc (nên dễ đạo hàm)
• $dv$là phần còn lại, dễ nguyên hàm
• $du = u'(x)dx$
• $v = \int dv$

3. Hướng dẫn giải từng bước và ví dụ minh họa

Để áp dụng nguyên hàm từng phần hiệu quả, các bước thực hiện như sau:

1. Xác định các thành phần$u$và $dv$trong biểu thức cần tính nguyên hàm ($\int u\dv$). Thông thường chọn$u$dễ đạo hàm,$dv$dễ nguyên hàm.
2. Tính$du = u'(x)dx$và $v = \int dv$.
3. Áp dụng công thức:$\int u\dv = uv - \int v\du$.
4. Tính tiếp nguyên hàm còn lại nếu cần.

Ví dụ 1: Tính$\int x e^x dx$.

Bước 1: Chọn$u = x \Rightarrow du = dx$,$dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x$.

Bước 2: Áp dụng công thức:

I =$\int x e^x dx$= x e^x -$\int e^x dx$= x e^x - e^x + C

Kết quả:$\int x e^x dx = e^x(x-1) + C$

Ví dụ 2: Tính$\int x \cos x\dx$

Chọn $u = x \Rightarrow du = dx$, $dv = \cos x\ dx \Rightarrow v = \sin x$.

$\int$ x$\cos$ x\ dx = x$\sin$x -$\int\sin$ x\ dx = x$\sin$x +$\cos$ x + C

4. Trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng nguyên hàm từng phần

• Có thể phải lặp lại nguyên hàm từng phần nhiều lần (nếu phần còn lại vẫn chưa thể tích phân ngay).
• Một số nguyên hàm từng phần có thể quay lại chính nó – cần giải phương trình đại số.
• Nên chọn$u$theo thứ tự "LIPET": Logarit, Inverse, Polynomial, Exponential, Trigonometric để đạt hiệu quả cao.

Ví dụ trường hợp quay lại chính nó:

$\int e^x \sin x dx$Chọn $u = \sin x$, $dv = e^x dx$.$\int$ e^x$\sin$ x dx = e^x$\sin$x -$\int$ e^x$\cos$ x dxLặp lại với$u = \cos x$,$dv = e^x dx$...Sau hai lần sẽ xuất hiện nguyên hàm ban đầu, cần đưa về phương trình và giải ra.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Nguyên hàm từng phần là biểu hiện của đạo hàm tích hai hàm số, là bước quan trọng nối giữa nguyên hàm và tích phân. Phương pháp này thường phối hợp với đổi biến, nguyên hàm cơ bản để giải các bài toán tích phân phức tạp. Ngoài ra, nó mở rộng tư duy cho học sinh về các quy tắc tính đạo hàm/nguyên hàm và mối liên hệ giữa chúng.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

### Bài tập 1

Tính$\int x^2 e^x dx$.

Bước 1: Chọn$u = x^2$,$dv = e^x dx \Rightarrow du = 2x dx$,$v = e^x$.

Áp dụng công thức:

$\int x^2 e^x dx$= x^2 e^x -$\int 2x e^x dx$

Tiếp tục áp dụng từng phần cho$\int 2x e^x dx$: Chọn$u = 2x$,$dv = e^x dx \Rightarrow du = 2 dx$,$v = e^x$.

$\int 2x e^x dx$= 2x e^x -$\int 2 e^x dx$= 2x e^$x - 2$e^x

Kết hợp lại:

$\int x^2 e^x dx$= x^2 e^x -$(2x e^x - 2e^x)$= x^2 e^x - 2x e^$x + 2$e^x + C

$\boxed{\int x^2 e^x dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C}$

### Bài tập 2

Tính$\int x \ln x\dx$($x > 0$).

Chọn$u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx$,$dv = x dx \Rightarrow v = \frac{x^2}{2}$.

$<br />\int x \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} dx<br />$

$<br />= \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C<br />$

$\boxed{\int x \ln x\dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C}$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh khi làm bài nguyên hàm từng phần

• Chọn$u$,$dv$không phù hợp khiến nguyên hàm phức tạp hơn - cần luyện tập chọn thành thạo dựa theo thứ tự LIPET.
• Quên cộng hằng số $C$vào đáp án (với nguyên hàm không xác định).
• Tính sai đạo hàm$du$hoặc nguyên hàm$v$.
• Không nhận ra khi nào cần lặp lại nguyên hàm từng phần.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Nguyên hàm từng phần giúp giải các nguyên hàm của tích hai hàm số.
• Dựa trên công thức:$\int u\dv = uv - \int v\du$.
• Chọn$u$và $dv$hợp lý (ưu tiên LIPET), cẩn thận khi đạo hàm và nguyên hàm.
• Luyện tập nhiều dạng bài giúp tránh sai sót và nâng cao kỹ năng.

Hy vọng qua bài giảng này về "nguyên hàm từng phần", các bạn học sinh lớp 12 sẽ nắm vững khái niệm, ứng dụng, cũng như có thêm bài tập tham khảo và kỹ năng phòng tránh lỗi khi giải. Chúc các bạn học tốt môn Toán!