1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Nếu em đã quen với hệ tọa độ trong mặt phẳng (2D), thì hệ tọa độ trong không gian (3D) là bước mở rộng quan trọng giúp xác định vị trí của các điểm trong ba chiều. Trong chương trình Toán 12, việc nhận biết và vận dụng hệ tọa độ trong không gian hỗ trợ các phần hình học không gian, đại số tuyến tính và giải tích nhiều biến. Khả năng mô tả điểm trong không gian, xác định phương trình đường thẳng, mặt phẳng, tính khoảng cách và góc giữa các đối tượng đều dựa trên hệ tọa độ. Hiểu rõ khái niệm này giúp em giải quyết nhiều bài toán phức tạp và ứng dụng thực tế như đồ họa máy tính, vật lý và kỹ thuật.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng

Hệ tọa độ trong không gian 3 chiều bao gồm ba trục số đồng quy tại gốc tọa độ $O$, thường ký hiệu$x$,$y$,$z$. Các trục này vuông góc với nhau và tạo thành một hệ tọa độ trực chuẩn (orto). Mỗi điểm$P$trong không gian được biểu diễn bởi một bộ ba toạ độ $P(x,y,z)$, trong đó $x$,$y$,$z$lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm lên các trục$Ox$,$Oy$,$Oz$. Hệ tọa độ này cho phép xác định duy nhất vị trí của điểm và dễ dàng tính toán các đại lượng liên quan.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định gốc tọa độ $O$và ba trục$Ox$,$Oy$,$Oz$sao cho chúng vuông góc với nhau. Thông thường, trục$Ox$hướng sang phải,$Oy$hướng về phía sau và $Oz$hướng lên trên. Bước 2: Với mỗi điểm$P$, dựng các đường thẳng vuông góc từ $P$ đến từng trục để xác định hình chiếu. Giao điểm với$Ox$cho toạ độ $x$, với$Oy$cho$y$, với$Oz$cho$z$. Bước 3: Ghi toạ độ của$P$dưới dạng bộ ba$(x,y,z)$.

Ví dụ minh họa: Cho điểm$A(2,-1,3)$. Từ $A$, dựng đường vuông góc xuống từng trục. Hình chiếu của$A$lên$Ox$là $(2,0,0)$, lên$Oy$là $(0,-1,0)$, lên$Oz$là $(0,0,3)$. Do đó, tọa độ của$A$là $x=2$,$y=-1$,$z=3$tương ứng với hiện thị ba giá trị này.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Trong không gian 3D, có tám khối (ô) được xác định bởi dấu của toạ độ $x$,$y$,$z$. Ví dụ, ô thứ nhất là nơi$x>0$,$y>0$,$z>0$. Khi một trong các toạ độ bằng 0, điểm nằm trên một trong các mặt phẳng tọa độ: mặt phẳng$xy$khi$z=0$, mặt phẳng$yz$khi$x=0$, mặt phẳng$xz$khi$y=0$. Lưu ý khi tính toán và vẽ, cần xác định chính xác toạ độ âm – dương để đặt điểm vào vị trí đúng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hệ tọa độ trong không gian liên kết chặt chẽ với khái niệm véc tơ trong đại số tuyến tính. Với mỗi điểm $P(x,y,z)$, ta có thể xác định vectơ $\overrightarrow{OP}=(x,y,z)$. Công thức khoảng cách giữa hai điểm $P_1(x_1,y_1,z_1)$và $P_2(x_2,y_2,z_2)$là $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$. Phương trình đường thẳng và mặt phẳng cũng xây dựng dựa trên tọa độ này, chẳng hạn phương trình đường thẳng qua $P_1,P_2$hoặc mặt phẳng dạng$ax + by + cz + d = 0$.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Cho điểm$A(2,-1,3)$. (a) Xác định tọa độ của$A$. (b) Điểm$A$thuộc ô thứ mấy? Giải: Tọa độ đã cho là $x=2>0$,$y=-1<0$,$z=3>0$, do đó $A$nằm trong ô thứ hai của không gian, nơi có dấu$(+,-,+)$.

Bài tập 2. Tính khoảng cách từ điểm $B(1,2,-2)$ đến mặt phẳng$P: x - y + 2z - 3 = 0$. Giải: Công thức khoảng cách từ điểm $(x_0,y_0,z_0)$ đến mặt phẳng$ax + by + cz + d = 0$là $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. Thay $a=1$, $b=-1$, $c=2$, $d=-3$, $(x_0,y_0,z_0)=(1,2,-2)$ta có $d = \frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-2) - 3|}{\sqrt{6}} = \frac{8}{\sqrt{6}} = \frac{8\sqrt{6}}{6} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$.

Bài tập 3. Cho hai điểm$C(-1,0,4)$và $D(3,1,-2)$. Tìm tọa độ trung điểm$M$của$CD$. Giải: Trung điểm có tọa độ $M\left(\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}, \frac{z_C + z_D}{2}\right) = M\left(\frac{-1 + 3}{2}, \frac{0 + 1}{2}, \frac{4 + (-2)}{2}\right) = M\left(1, \frac{1}{2}, 1\right).$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

– Nhầm thứ tự tọa độ $(x,y,z)$hoặc viết nhầm thành$(x,z,y)$. – Bỏ sót dấu âm của tọa độ dẫn đến đặt điểm sai ô. – Không xác định rõ hệ trục trực chuẩn mà vẽ sai góc vuông. – Quên ghi gốc tọa độ $O$và ký hiệu trục. Để tránh, em cần cẩn thận đọc đề, vẽ hệ trục chính xác và kiểm tra dấu cũng như thứ tự mỗi khi ghi tọa độ.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

– Hệ tọa độ trong không gian gồm ba trục vuông góc đồng quy tại gốc$O$. – Mỗi điểm$P$được xác định duy nhất bằng bộ ba tọa độ$(x,y,z)$. – Có tám ô trong không gian tương ứng dấu của$x,y,z$. – Công thức khoảng cách, trung điểm, phương trình đường thẳng, mặt phẳng đều sử dụng tọa độ. – Cần chú ý thứ tự, dấu và tính vuông góc của hệ trục khi vẽ và tính toán.