Blog

Nhận biết hệ tọa độ trong không gian – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của hệ tọa độ trong không gian

Khi học toán ở bậc THPT, đặc biệt là ở lớp 12, các kiến thức về hình học không gian trở nên rất quan trọng. Một trong những công cụ mạnh mẽ nhất giúp chúng ta phân tích, chứng minh các bài toán hình học trong không gian chính là hệ tọa độ. Nhận biết hệ tọa độ trong không gian giúp học sinh mô tả chính xác vị trí các điểm, vẽ hình, chứng minh quan hệ hình học nhanh chóng bằng các phép tính đại số thay vì hình vẽ thuần túy.

Nắm vững kiến thức về hệ tọa độ trong không gian không chỉ giúp bạn giải các bài toán ở trường mà còn là nền tảng cho nhiều ngành học trong tương lai như vật lý, kỹ thuật, kiến trúc... Nhận biết đúng hệ tọa độ là bước đầu tiên khi làm việc với các bài toán hình học không gian sử dụng phương pháp tọa độ.

2. Định nghĩa hệ tọa độ trong không gian

Hệ tọa độ trong không gian oxyz là một hệ tọa độ Descartes trong không gian 3 chiều, gồm ba trục đôi một vuông góc với nhau: Ox, Oy, Oz và gốc tọa độ O. Mỗi điểm trong không gian được xác định bởi một bộ ba số (x;y;z)(x; y; z)gọi là tọa độ của điểm đó. Các số này lần lượt là khoảng cách đại số từ điểm đến các mặt phẳng(Oyz)(Oyz),(Oxz)(Oxz)(Oxy)(Oxy).

Để xác định một hệ tọa độ oxyz trong không gian, bạn cần:

  • Một điểm gốc O.
  • Ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc, cùng hướng xác định.
  • Ba mặt phẳng tọa độ (Oxy)(Oxy),(Oyz)(Oyz),(Oxz)(Oxz).
  • Hệ toạ độ thường dùng là hệ toạ độ vuông góc, tức là ba trục tạo với nhau ba góc vuông. Nếu không nói gì thêm, hiểu mặc định là hệ toạ độ Descartes vuông góc. Đôi khi có thể gặp hệ toạ độ khác như hệ toạ độ cực, trụ, cầu, nhưng trong chương trình phổ thông, ta chủ yếu dùng hệ toạ độ Descartes vuông góc.

    3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

    Cùng xét một ví dụ đơn giản để nhận biết và vận dụng hệ tọa độ trong không gian.

  • Bước 1: Xác định hệ tọa độ Oxyz trên hình vẽ hoặc bài toán. Gốc O cùng ba trục Ox, Oy, Oz thường được ký hiệu rõ ràng trên hình.
  • Bước 2: Xác định các đơn vị độ dài trên từng trục (thường giả sử mỗi đơn vị trên mỗi trục là giống nhau).
  • Bước 3: Đọc hoặc xác định tọa độ của một điểmMM. Ví dụ: điểmMMcó tọa độ (2;3;1)(2;3;-1). Điều này nghĩa là từ gốcOO, đi 2 đơn vị theo hướng Ox, 3 đơn vị theo hướng Oy, rồi -1 đơn vị (1 đơn vị ngược hướng) theo Oz, bạn sẽ đến điểmMM.
  • Ví dụ: Cho điểmA(1;2;3)A(1;2;3),B(4;0;1)B(4;0;1). Khi đã xác định hệ tọa độ, bạn có thể tính các yếu tố như độ dàiABAB, vectorAB\overrightarrow{AB},... bằng cách vận dụng các công thức đại số.

    Tính vectorAB\overrightarrow{AB}:
    <br/>AB=(xBxA,\yByA,\zBzA)=(41, 02, 13)=(3, 2, 2)<br/><br />\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\y_B - y_A,\z_B - z_A) = (4-1,\ 0-2,\ 1-3) = (3,\ -2,\ -2)<br />

    Tính độ dài ABAB:
    <br/>AB=(xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2=32+(2)2+(2)2=9+4+4=17<br/><br />AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}<br />

    4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

    - Nếu một điểm có tọa độ dạng(x,y,0)(x, y, 0)thì điểm đó nằm trên mặt phẳng(Oxy)(Oxy). Tương tự, nếu tọa độ là (x,0,z)(x, 0, z)thì nằm trên mặt phẳng(Oxz)(Oxz),(0,y,z)(0, y, z)thì nằm trên(Oyz)(Oyz).
    - Nếu hai trong ba tọa độ bằng 0, ví dụ (x,0,0)(x, 0, 0)thì điểm đó nằm trên trụcOxOx(tương tự vớiOyOy,OzOz).
    - Gốc tọa độ OOcó tọa độ (0,0,0)(0, 0, 0).
    - Các bài toán hình học thường giả sử (Oxyz)(Oxyz)là hệ tọa độ vuông góc, cùng chiều (quy tắc bàn tay phải).

    Lưu ý: Trong bài toán thực tế, cần xác nhận rõ hệ trục tọa độ được thiết lập như thế nào để tránh nhầm lẫn dấu hoặc thứ tự trục. Một số câu hỏi có thể yêu cầu bạn vẽ hình minh họa.

    5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

    - Hệ tọa độ trong không gian là bước khởi đầu để mô tả vector, phương trình mặt phẳng, mặt cầu, mặt phẳng, đường thẳng trong không gian.
    - Sử dụng hệ tọa độ giúp chuyển các bài toán hình học phức tạp sang các phép toán đại số: tính khoảng cách, thể tích, diện tích...
    - Liên quan chặt chẽ tới kiến thức vector trong không gian, phép chiếu hình học, cũng như nền tảng cho hình học đại số và giải tích trong không gian.

    6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    Bài tập 1: Cho điểmM(2;1;4)M(2;-1;4). Hỏi điểmMMnằm ở phía nào so với gốc tọa độ về mỗi trục?

    Lời giải:
    - Tọa độ x=2>0x=2>0nênMMnằm về phía dương trụcOxOx.
    -y=1<0y=-1<0nênMMnằm về phía âm trụcOyOy.
    -z=4>0z=4>0nênMMnằm về phía dương trụcOzOz.

    Bài tập 2: ĐiểmA(1;2;0)A(1;2;0)nằm trên mặt phẳng nào?

    Lời giải:z=0z=0nênAAnằm trên mặt phẳng(Oxy)(Oxy).

    Bài tập 3: ChoA(1;2;3),B(4;5;6)A(1;2;3), B(4;5;6). Tìm tọa độ trung điểmMMcủa đoạnABAB.

    Lời giải:
    Trung điểmMMcó tọa độ:
    <br/>M=(xA+xB2,yA+yB2,zA+zB2)=(1+42,2+52,3+62)=(2.5;3.5;4.5)<br/><br />M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right) = \left(\frac{1+4}{2}, \frac{2+5}{2}, \frac{3+6}{2}\right) = (2.5; 3.5; 4.5)<br />

    7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Lẫn lộn thứ tự các tọa độ, dễ viết nhầm(x;y;z)(x; y; z)thành(y;x;z)(y; x; z)hoặc tương tự. Luôn kiểm tra kỹ thứ tự.
  • Nhầm dấu số âm/dương: Khi xác định điểm trong không gian nên xét từng thành phần tọa độ và định hướng trên hình vẽ.
  • Quên kiểm tra điều kiện đặc biệt: Ví dụ, tọa độ z=0z=0(nằm trên(Oxy)(Oxy)), hayx=0x=0(nằm trên(Oyz)(Oyz)).
  • Nhận dạng sai hoặc quên vẽ/dựng hệ trục khi giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ.
  • Để tránh lỗi, hãy luôn đọc kỹ đề, xác định rõ hệ trục và kiểm tra kết quả sau khi làm bài.

    8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • Hệ trục tọa độ trong không gian giúp biểu diễn vị trí điểm bằng ba số thực(x;y;z)(x; y; z).
  • Ba trục phải vuông góc và cùng chiều xác định quy tắc bàn tay phải.
  • Các mặt phẳng tọa độ (Oxy)(Oxy),(Oyz)(Oyz),(Oxz)(Oxz)rất quan trọng khi làm bài. Khi một trong các tọa độ là 0, điểm nằm trên một mặt phẳng tọa độ tương ứng.
  • Các công thức tọa độ (tính vector, trung điểm, khoảng cách,...) đều dựa trên hệ tọa độ này.
  • Luôn xác định đúng hệ tọa độ và kiểm tra kỹ thứ tự, dấu tọa độ khi làm bài.
  • Nhận biết hệ tọa độ trong không gian là kỹ năng nền tảng, tạo tiền đề vững chắc cho các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ. Hãy luyện tập thật nhiều ví dụ, đối chiếu kiến thức lý thuyết với hình vẽ để thành thạo hơn.

    Từ khóa liên quan – SEO (Tham khảo)

    Nhận biết hệ tọa độ trong không gian, hệ tọa độ không gian lớp 12, giải thích hệ toạ độ Oxyz, hướng dẫn hệ tọa độ, học tập hệ toạ độ không gian, phương pháp tọa độ trong không gian, cách xác định hệ trục tọa độ, bài tập hệ tọa độ không gian lớp 12.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".