Blog

Nhận Biết Hệ Tọa Độ Trong Không Gian: Hướng Dẫn Chi Tiết Cho Học Sinh Lớp 12

T
Tác giả
5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu chung về hệ tọa độ trong không gian

Nhận biết hệ tọa độ trong không gian là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt trong chuyên đề Hình học không gian. Thông qua hệ tọa độ, việc mô tả các điểm, véc-tơ, hình học và giải các bài toán trong không gian trở nên trực quan, thuận tiện và dễ dàng hơn rất nhiều. Đặc biệt, khi bạn làm quen với giải tích không gian, các bài tập thực tế, hay các bài toán về phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian, việc hiểu rõ hệ tọa độ và cách xác định tọa độ điểm, véc-tơ trong hệ tọa độ đóng vai trò quyết định.

2. Định nghĩa hệ tọa độ trong không gian

Hệ tọa độ trong không gian Oxyz (hay còn gọi là hệ tọa độ Đề-các trong không gian 3 chiều) là một hệ gồm ba trục thẳng góc đôi một với nhau (thường ký hiệu là Ox, Oy, Oz) cắt nhau tại điểm gốc O. Mỗi điểmMMtrong không gian được xác định bởi bộ ba số thực(x;y;z)(x;y;z)gọi là tọa độ của điểmMMtrong hệ toạ độ đó.

Định nghĩa chính xác:Một hệ tọa độ Đề-các trong không gian bao gồm:

  • Một điểm gốcOO.
  • Ba trục tọa độ OxOx,OyOy,OzOz đôi một vuông góc nhau và cùng định hướng.
  • Ba mặt phẳng toạ độ: mặt phẳngOxyOxy, mặt phẳngOyzOyz, mặt phẳngOxzOxz.

Tọa độ điểmMMtrong không gian là bộ ba số duy nhất(x;y;z)(x;y;z), vớixx,yy,zzlần lượt là khoảng cách có hướng từ gốcOO đến hình chiếu vuông góc lên các trụcOxOx,OyOy,OzOz.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểmAAcó tọa độ (2;1;3)(2; -1; 3), hãy xác định vị trí điểmAAtrên không gian.

Cách thực hiện:

  • Bắt đầu từ gốcOO.
  • Đi dọc theo trụcOxOx đếnx=2x = 2.
  • Từ điểm đó, song song trụcOyOy đi1-1 đơn vị (về phía âmOyOy).
  • Từ đó, song song trụcOzOz đi lên33 đơn vị.

Kết quả: Đó là vị trí của điểmA(2;1;3)A(2;-1;3)trong không gian. Hãy hình dung nó như một điểm trong khối lập phương với các trục vuông góc.

Ví dụ 2: Tìm tọa độ điểmMMlà trung điểm của đoạn thẳngABAB, vớiA(1;2;3)A(1;2;3),B(5;6;7)B(5;6;7).

Áp dụng công thức trung điểm:

Tọa độ MMlà:

M(1+52;2+62;3+72)=(3;4;5)M\left(\frac{1+5}{2}; \frac{2+6}{2}; \frac{3+7}{2}\right) = (3; 4; 5)

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng hệ tọa độ

  • Điểm nằm trên trụcOxOxcó tọa độ dạng(a;0;0)(a; 0; 0).
  • Điểm nằm trên mặt phẳngOxyOxycó tọa độ dạng(a;b;0)(a; b; 0).
  • Điểm đồng nhất (trùng gốc toạ độ):O(0;0;0)O(0; 0; 0).
  • Khi xác định tọa độ véc-tơ, luôn lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.

Lưu ý: Luôn xác định rõ điểm đầu và điểm cuối khi tính toán. Hệ tọa độ phải duy trì tính vuông góc và định hướng chuẩn.

5. Mối liên hệ và ứng dụng với các khái niệm toán học khác

Hệ tọa độ trong không gian liên kết chặt chẽ với các chủ đề khác như:

  • Tính độ dài đoạn thẳng: AB=(xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}
  • Tính tích vô hướng, tích có hướng hai véc-tơ.
  • Phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian.
  • Tọa độ trọng tâm, trung điểm, chia đoạn theo tỷ số.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho điểmA(4;3;2)A(4; 3; -2)B(2;7;1)B(-2; 7; 1), tính độ dài đoạn thẳngABAB.

Lời giải:

Áp dụng công thức độ dài đoạn thẳng:

AB=(xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2=(24)2+(73)2+(1+2)2=(6)2+42+32=36+16+9=61AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} = \sqrt{(-2-4)^2 + (7-3)^2 + (1+2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 16 + 9} = \sqrt{61}

Vậy AB=61AB = \sqrt{61}.

Bài 2: Tìm tọa độ điểmCCsao choAC=2AB\vec{AC} = 2\vec{AB}vớiA(1;2;3)A(1;2;3),B(4;5;6)B(4;5;6).

Lời giải:

Ta có AB=(41;52;63)=(3;3;3)\vec{AB} = (4-1; 5-2; 6-3) = (3; 3; 3). Do đó AC=2×(3;3;3)=(6;6;6)\vec{AC} = 2 \times (3; 3; 3) = (6; 6; 6).

AC=(xC1;yC2;zC3)\vec{AC} = (x_C - 1; y_C - 2; z_C - 3), nên:

\[\begin{cases} x_C - 1 = 6 \\y_C - 2 = 6 \\z_C - 3 = 6 \\\end{cases}\]

xC=7,yC=8,zC=9\Rightarrow x_C = 7, y_C = 8, z_C = 9

Vậy tọa độ điểmC(7;8;9)C(7;8;9).

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Lẫn lộn thứ tự trục: chú ý quy tắcxx,yy,zzlần lượt ứng vớiOxOx,OyOy,OzOz.
  • Nhầm dấu khi tính toán tọa độ véc-tơ (luôn trừ tọa độ điểm đầu khỏi điểm cuối).
  • Quên chuyển đổi đơn vị, đặc biệt khi hình học thực tế.
  • Vẽ hình không chuẩn xác dẫn tới xác định sai tọa độ.

Giải pháp: Luôn kiểm tra kỹ lưỡng trình tự thao tác, viết rõ ràng các công thức và chú thích từng bước. Khi vẽ hình, nên đánh dấu điểm và trục cẩn thận.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • Hệ tọa độ trong không gian bao gồm ba trụcOxOx,OyOy,OzOz đôi một vuông góc và cắt nhau tại gốcOO.
  • Tọa độ điểmM(x;y;z)M(x;y;z)xác định duy nhất vị trí điểmMMtrong không gian.
  • Khi xác định tọa độ véc-tơ, sử dụng công thức tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.
  • Sử dụng công thức khoảng cách, trung điểm, chia đoạn,... đúng cách trong hệ tọa độ.

Việc nắm vững các kiến thức về hệ tọa độ không chỉ giúp bạn giải tốt các bài toán lớp 12 mà còn là nền tảng quan trọng cho việc học toán ở các bậc học cao hơn hoặc khi áp dụng toán học vào thực tiễn, kỹ thuật và các ngành khoa học.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".