Ôn thi Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12 – Hướng dẫn chi tiết cho kỳ thi THPT

1. Giới thiệu: Tầm quan trọng của chủ đề trong kỳ thi

Trong chương trình Toán 12, thống kê giữ vai trò quan trọng trong việc đánh giá và phân tích dữ liệu. Chủ đề 'Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm' thường xuyên xuất hiện trong các đề thi giữa kỳ, học kỳ và đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia. Việc nắm vững cách tính khoảng biến thiên, các tứ phân vị sẽ giúp học sinh không chỉ đạt điểm phần lý thuyết mà còn xử lý tốt các bài toán thực tế thống kê.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

- Hiểu rõ khái niệm về mẫu số liệu ghép nhóm: Dữ liệu đã được phân loại thành các nhóm (lớp).

- Nhớ cách xác định cận dưới – trên của các nhóm, mốc phân vị và công thức tính toán đặc trưng (khoảng biến thiên, tứ phân vị).

- Biết áp dụng công thức khi số liệu đã được ghép nhóm (bảng tần số).

- Phân tích, so sánh mức độ phân tán của các mẫu số liệu qua các chỉ số vừa học.

3. Công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

a. Khoảng biến thiên ($R$)

Là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong mẫu số liệu.

Với mẫu số liệu ghép nhóm, ta có:

Trong đó $x_{min}$là cận dưới của nhóm nhỏ nhất,$x_{max}$là cận trên của nhóm lớn nhất.

b. Các tứ phân vị ($Q_1$,$Q_2$,$Q_3$)

• Tứ phân vị thứ nhất$Q_1$: Phân chia mẫu số liệu thành$25\%$nhỏ nhất và $75\%$còn lại.
• Tứ phân vị thứ hai$Q_2$: Trung vị, chia mẫu thành hai phần bằng nhau.
• Tứ phân vị thứ ba$Q_3$: Chia$75\%$nhỏ nhất và $25\%$lớn nhất.

Cách xác định tứ phân vị trong mẫu số liệu ghép nhóm:

Các bước:

Trong đó:

• $L$: cận dưới nhóm chứa tứ phân vị
• $F_{trước}$: tổng tần số tích lũy của các nhóm trước nhóm chứa$Q_k$
• $f$: tần số nhóm chứa tứ phân vị
• $d$: độ dài nhóm

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp trong đề thi

• Tính khoảng biến thiên khi cho bảng tần số ghép nhóm.
• Tính$Q_1$,$Q_2$,$Q_3$cho mẫu số liệu ghép nhóm.
• Kết hợp tính khoảng biến thiên, các tứ phân vị từ bảng số liệu cho sẵn.
• So sánh mức độ phân tán giữa hai mẫu số liệu.

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

- Đọc kỹ bảng số liệu, xác định rõ cận dưới, cận trên, độ dài các nhóm, tần số của từng nhóm.

- Với bài tính khoảng biến thiên: Chỉ cần lấy cận trên lớn nhất trừ cận dưới nhỏ nhất.

- Với bài tứ phân vị: Luôn lập cột tần số tích lũy. Ghi công thức ra nháp, xác định chính xác các biến số trước khi thay số.

- Với bài kết hợp: Làm tuần tự, tránh nhầm lẫn giữa các đại lượng thống kê.

- Cẩn thận đơn vị, kiểm tra lại tổng tần số, tránh sót dữ liệu.

6. Bài tập mẫu từ các đề thi trước với lời giải chi tiết

Đề bài: Cho bảng sau về điểm kiểm tra Toán của 40 học sinh lớp 12.

a. Tính khoảng biến thiên.
b. Tìm tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) và thứ ba ($Q_3$).

Lời giải chi tiết:

a. Khoảng biến thiên:

Cận dưới nhỏ nhất$x_{min} = 2$, cận trên lớn nhất$x_{max} = 10$

$R = x_{max} - x_{min} = 10 - 2 = 8$

b. Tính$Q_1$và $Q_3$:

Tổng số học sinh$n = 40$.

- Vị trí $Q_1$:$\frac{n}{4} = \frac{40}{4} = 10$
- Vị trí $Q_3$:$\frac{3n}{4} = \frac{120}{4} = 30$

Lập bảng tần số tích lũy:

| Nhóm | Tần số | Tích lũy F |
|--------|--------|------------|
| 2–4 | 4 | 4 |
| 4–6 | 10 | 14 |
| 6–8 | 18 | 32 |
| 8–10 | 8 | 40 |

-$Q_1$nằm trong nhóm 4–6 vì tổng tích lũy đến nhóm trước (2–4) là 4, nhóm này có tần số 10 (tích lũy đến 14, vượt 10).
- Tham số nhóm:$L = 4$,$F_{trước} = 4$,$f = 10$,$d = 2$.
- Áp dụng công thức:

-$Q_3$nằm trong nhóm 6–8 vì tổng tích lũy đến nhóm trước (4–6) là 14, nhóm 6–8 có tần số 18 (tích lũy đến 32, vượt qua 30).
- Tham số nhóm:$L = 6$,$F_{trước} = 14$,$f = 18$,$d = 2$
- Áp dụng:

Đáp số:
- Khoảng biến thiên:$R = 8$
-$Q_1 = 5.2$
-$Q_3 = 7.78$

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải trong kỳ thi

• Nhầm lẫn giữa cận dưới – cận trên của nhóm.
• Tính sai tần số tích lũy hoặc vị trí các phân vị.
• Quên nhân độ dài nhóm ($d$) khi tính tứ phân vị.
• Lấy nhầm số liệu từ nhóm khác (ví dụ, dùng$f$của nhóm không chứa tứ phân vị).
• Không kiểm tra lại đáp số, bỏ sót hoặc lấy sai tổng số mẫu.

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian

a. 2 tuần trước kỳ thi:

• Học và ghi nhớ lý thuyết, các công thức liên quan.
• Tìm hiểu lại ví dụ minh họa trong SGK, làm đủ các dạng bài cơ bản.

b. 1 tuần trước kỳ thi:

• Làm lại các bài tập đã sai, tổng hợp công thức ra giấy riêng.
• Bắt đầu luyện giải đề kiểm tra thật, kiểm soát thời gian.

c. 3 ngày trước kỳ thi:

• Ôn lại tất cả công thức.
• Làm thêm đề minh họa, chú ý các mẹo tính nhanh.
• Đọc kỹ phần lý thuyết, luyện thói quen kiểm tra lại đáp số.

9. Các mẹo làm bài nhanh và chính xác

• Kẻ bảng tần số – tích lũy ra nháp để theo dõi.
• Dùng bút màu đánh dấu nhóm chứa tứ phân vị.
• Luôn xác định rõ $L$,$F_{trước}$,$f$,$d$trước khi thay số.
• Kiểm tra lại đơn vị của kết quả (không để sót bước tính).
• Luyện bấm máy tính hỗ trợ phép trừ, nhân chia chính xác.
• Đặt câu hỏi: kết quả có hợp lý không? (Q1 phải nằm trong nhóm thấp, Q3 ở nhóm cao).