Ôn thi Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes lớp 12

Bài viết này hướng dẫn cách ôn thi hiệu quả chủ đề “Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes” dành cho học sinh lớp 12. Nội dung bao gồm kiến thức trọng tâm, công thức, phân loại dạng bài, chiến lược làm, bài tập mẫu, lỗi thường gặp và kế hoạch ôn tập trong 2 tuần, 1 tuần và 3 ngày trước kỳ thi.

1. Giới thiệu về tầm quan trọng của chủ đề này trong các kỳ thi

Trong đề thi THPT Quốc gia và kiểm tra định kỳ, phần xác suất thường chiếm 2–3 câu, trong đó công thức xác suất toàn phần và Bayes là kiến thức nền tảng để giải các bài toán về phân phối, điều kiện, kết hợp nhiều biến cố. Nắm chắc hai công thức này giúp bạn tự tin xử lý nhanh các đề phức tạp và nâng cao điểm số.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

– Khái niệm biến cố, không gian xác suất. – Xác suất có điều kiện$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. – Tính chất và mối quan hệ giữa các biến cố độc lập, phụ thuộc. – Phân loại biến cố thành phân vùng (partition)$\{B_1, B_2, \dots, B_n\}$.

3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

a) Công thức xác suất toàn phần: khi$\{B_i\}$là phân vùng của không gian mẫu và $A$là biến cố bất kỳ, ta có:

$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)\,P(A|B_i)$

Điều kiện:$B_i \cap B_j=\emptyset$với$i<br> \neq j$,$\bigcup_{i=1}^nB_i=\Omega$,$P(B_i)>0$.

b) Công thức Bayes: tính xác suất ngược khi biết$A$ đã xảy ra:

$P(B_j|A)=\frac{P(B_j)\,P(A|B_j)}{\sum_{i=1}^{n}P(B_i)\,P(A|B_i)}$

Điều kiện: như trên và $P(A)>0$.

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp trong đề thi

Dạng 1: Tính$P(A)$qua phân vùng nhỏ (toàn phần). Dạng 2: Tính$P(B_j|A)$theo Bayes. Dạng 3: Kết hợp nhiều biến cố (giao, hợp, bù). Dạng 4: Bài toán ứng dụng thực tế (chất lượng sản phẩm, sinh, bệnh,...). Dạng 5: Kết hợp với hoán vị, tổ hợp để xác suất rút ngẫu nhiên.

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

– Bước 1: Xác định phân vùng (liệt kê $B_i$). – Bước 2: Tính$P(B_i)$và $P(A|B_i)$. – Bước 3: Áp dụng công thức toàn phần để tìm$P(A)$. – Bước 4 (Bayes): Tính mẫu thức trong công thức Bayes, sau đó thay giá trị thu được.

Lưu ý: Vẽ sơ đồ cây để trực quan hoá bước phân chia, tránh sót trường hợp.

6. Bài tập mẫu từ các đề thi trước với lời giải chi tiết

Ví dụ 1 (THPT QG 2018): Có hai hộp đựng bi. Hộp 1 chứa 3 bi đỏ, 2 bi xanh; Hộp 2 chứa 1 bi đỏ, 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi rút ngẫu nhiên một bi. Tính xác suất rút được bi đỏ.

Giải: Gọi$B_1$= “chọn hộp 1”,$B_2$= “chọn hộp 2”,$A$= “rút bi đỏ”. Ta có $P(B_1)=P(B_2)=\frac12$,$P(A|B_1)=\frac{3}{5}$,$P(A|B_2)=\frac{1}{5}$. Áp dụng công thức toàn phần:

$P(A)=\frac12 \cdot \frac{3}{5}+\frac12 \cdot \frac{1}{5}=\frac{3+1}{10}=\frac{2}{5}.$

Ví dụ 2 (THPT QG 2019): Với dữ kiện ví dụ 1, nếu rút được bi đỏ, tính xác suất hộp đã chọn là hộp 1.

Giải: Theo Bayes,$P(B_1|A)=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)}=\frac{\frac12 \cdot \frac{3}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{3}{4}.$

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải trong kỳ thi

– Nhầm lẫn điều kiện của công thức (quên phân vùng đủ). – Bỏ sót trường hợp trong tổng. – Tính$P(A)$bằng trực giác, không dùng công thức dẫn đến sai. – Quên kiểm tra$P(B_i)>0$hoặc$P(A)>0$trước khi tính Bayes. – Thiếu bước vẽ sơ đồ cây, dễ bỏ sót nhánh.

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian

1) 2 tuần trước thi: Ôn toàn bộ lý thuyết, làm 10–15 bài tập phân phối đủ dạng. Chú trọng vẽ sơ đồ cây. 2) 1 tuần trước thi: Làm đề thi thử có bài xác suất; ôn lại những bài sai, hệ thống lại công thức. 3) 3 ngày trước thi: Ôn nhanh công thức và 3–5 bài mẫu. Luyện tính nhanh giá trị phân số, tỷ lệ, kiểm tra lại lý thuyết.

9. Các mẹo làm bài nhanh và chính xác

– Dùng sơ đồ cây hoặc bảng phân vùng để tổ chức dữ kiện. – Rút gọn phân số sớm, tránh tính lặp. – Kiểm tra tổng xác suất =1 khi làm công thức toàn phần. – Với Bayes, tính cả tử và mẫu riêng rồi rút gọn. – Ghi rõ giả thiết và điều kiện trước khi áp dụng công thức.

Kết luận

Chủ đề “Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes” là phần không thể bỏ qua khi ôn thi Toán 12. Nắm vững lý thuyết, áp dụng đúng công thức, rèn luyện qua bài tập mẫu và tuân thủ kế hoạch ôn tập sẽ giúp bạn tự tin vượt qua các câu xác suất trong đề thi THPT Quốc gia.