Ôn thi Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12 – Hướng dẫn từ A đến Z

1. Giới thiệu về tầm quan trọng của chủ đề trong các kỳ thi

Chủ đề “Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm” là một trong các nội dung trọng yếu của Chương III – Thống kê trong chương trình Toán lớp 12 THPT. Vấn đề này không chỉ thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, mà còn góp mặt trong các bài kiểm tra định kỳ, kiểm tra giữa kỳ và học kỳ. Việc nắm vững phương pháp tính toán, phân tích các đại lượng đo lường mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm giúp các bạn học sinh không những đạt điểm số cao, mà còn nâng cao kỹ năng giải quyết các bài toán thực tiễn liên quan đến thống kê.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

- Ý nghĩa các đại lượng: + Phương sai (Variance) thể hiện mức độ phân tán các số liệu so với giá trị trung bình cộng. + Độ lệch chuẩn (Standard deviation) là căn bậc hai của phương sai, dùng đo mức độ “chênh lệch trung bình” các giá trị so với trung bình cộng.- Đặc điểm của số liệu ghép nhóm: Các giá trị số liệu chia thành các lớp, mỗi lớp có tần số (số phần tử) riêng, không biết chính xác giá trị từng phần tử trong lớp mà chỉ biết khoảng lớp và tần số.- Phải hiểu rõ các khái niệm: Trung bình cộng mẫu ghép nhóm, trung điểm lớp, tổng tần số, tổng tích (trung điểm$\times$tần số),…

3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

Với bảng phân bố tần số ghép nhóm có $k$lớp, mỗi lớp có trung điểm$x_i$, tần số $n_i$, tổng số phần tử $N = \sum n_i$, ta có:

Trung bình cộng mẫu số liệu ghép nhóm:

$\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^k x_i n_i}{N}$

Phương sai mẫu ghép nhóm (dạng không hiệu chỉnh):

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^k n_i (x_i - \overline{x})^2}{N}$

Phương sai mẫu ghép nhóm (dạng hiệu chỉnh):

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^k n_i (x_i - \overline{x})^2}{N - 1}$

Độ lệch chuẩn của mẫu ghép nhóm:

$s = \sqrt{s^2}$

- Lưu ý: Nếu đề hỏi phương sai tổng thể thì mẫu số là $N$, nếu hỏi phương sai mẫu (dạng hiệu chỉnh) thì mẫu số là $N-1$. Cần chú ý yêu cầu đề bài.

- Để tính nhanh $\sum n_i (x_i - \overline{x})^2$, có thể áp dụng $\sum n_i x_i^2 - N \overline{x}^2$ như sau:

$\sum$_{i=1}^k n_i $(x_i - \overline{x})$^2 = $\sum$_{i=1}^k n_i x_i^2 - N \overline{x}^2

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp trong đề thi

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

- Dạng 1: Đọc kỹ dữ liệu bảng, tính trung điểm mỗi lớp, lập bảng phụ với các cột: trung điểm, tần số, trung điểm$\times$tần số, trung điểm bình phương$\times$tần số. Tổng hợp lần lượt các giá trị để áp dụng công thức.

- Dạng 2: Lập phương trình dựa vào các tổng đã biết ($\sum n_i$, $\sum x_i n_i$...) để tìm giá trị, rồi hoàn thiện bảng và tiếp tục các bước như dạng 1.

- Dạng 3: Sau khi tính các giá trị, đặt lên bàn cân so sánh để giải thích. Cần giải thích ý nghĩa thực tiễn khi so sánh độ lệch chuẩn.

- Dạng 4: Sử dụng tối đa dữ kiện cho trước, tận dụng công thức rút gọn để chọn đáp án nhanh.

6. Bài tập mẫu từ các đề thi trước với lời giải chi tiết

Ví dụ 1 (đề thi thử THPTQG):

Cho bảng phân bố tần số trình bày điểm kiểm tra Toán 12 của 40 học sinh như sau: | Lớp điểm | 5 - 7 | 7 - 9 | 9 - 11 |
|:--------:|:-----:|:----:|:------:|
| n_i | 10 | 20 | 10 |

Hãy tính trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn của điểm kiểm tra.

Giải:

- Trung điểm các lớp:$x_1 = 6$,$x_2 = 8$,$x_3 = 10$.

- Tính$\overline{x}$:

$\overline{x} = \frac{6 \times 10 + 8 \times 20 + 10 \times 10}{40} = \frac{60 + 160 + 100}{40} = \frac{320}{40} = 8$

- Tính $\sum n_i x_i^2$:

$\sum$n_i x_i^2 = 10$\times$36 + 20$\times$64 + 10$\times$ 100 = 360 + 1280 + 1000 = 2640

- Tính phương sai tổng thể:

$s^2 = \frac{\sum n_i x_i^2}{N} - {\overline{x}}^2 = \frac{2640}{40} - 8^2 = 66 - 64 = 2$

- Độ lệch chuẩn:

$s = \sqrt{2} \approx 1,414$

Kết luận: Trung bình cộng là 8 điểm, phương sai là 2, độ lệch chuẩn khoảng 1,414.

Bài tập tự luyện:

1. Một bảng số liệu ghép nhóm có 3 lớp: 10-20, 20-30, 30-40 với tần số lần lượt là 8, 12, 10. Tính trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn.
2. So sánh mức độ phân tán giữa hai nhóm số liệu sau (cùng tổng số phần tử): Nhóm A ($\overline{x} = 6, s = 1,5$), Nhóm B ($\overline{x} = 6, s = 2,2$). Kết luận gì về sự “ổn định” của điểm số giữa hai nhóm?

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải trong kỳ thi

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian cho kỳ thi

2 tuần trước thi:

1 tuần trước thi:

3 ngày trước thi:

9. Các mẹo làm bài nhanh và chính xác