Blog

Lớp 12

Ôn thi Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian lớp 12 – Tổng hợp kiến thức, mẹo thi và bài tập mẫu

T
Tác giả
•
•10 phút đọc
Chia sẻ:
11 phút đọc

1. Giới thiệu: Tầm quan trọng của chủ đề trong các kỳ thi

“Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian” là một trong những điểm nhấn quan trọng nhất của chương Hình học không gian lớp 12. Chủ đề này xuất hiện thường xuyên trong các đề thi THPT Quốc gia, kiểm tra học kỳ, xét tuyển vào các trường đại học với nhiều dạng bài trắc nghiệm lẫn tự luận. Việc nắm vững kiến thức và thành thạo giải quyết các dạng bài tập này sẽ giúp học sinh đạt điểm số cao, tăng cơ hội xét tuyển đại học, đồng thời rèn luyện khả năng tư duy hình học và kỹ năng trình bày khoa học.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

  • Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian: tham số (vector), chính tắc.
  • Cách xác định đường thẳng qua một điểm, song song, vuông góc với mặt phẳng hoặc đường thẳng khác.
  • Điều kiện tương giao, song song, vuông góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng.
  • Cách tìm giao điểm và khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, giữa hai đường thẳng chéo nhau.
  • Sử dụng thành thạo vector chỉ phương, định hướng tọa độ.

3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

a) Phương trình tham số (vector) của đường thẳng:

Cho điểmA(x0,y0,z0)A(x_0, y_0, z_0)và vector chỉ phươngu⃗=(a,b,c)\vec{u} = (a, b, c), đường thẳngddcó phương trình tham số:

b) Phương trình chính tắc của đường thẳng (khia,b,c≠0a, b, c \ne 0):

Điều kiện nhận biết và chuyển đổi giữa các phương trình:
- Phương trình tham số phù hợp với mọi trường hợp.
- Phương trình chính tắc chỉ sử dụng được khi tất cả các hệ số của vector chỉ phương đều khác 0.

c) Vector chỉ phương:u⃗=(a,b,c)\vec{u} = (a, b, c)xác định hướng của đường thẳng.

d) Điều kiện xác định giao nhau, song song, vuông góc:

  • Hai đường thẳngΔ1\Delta_1,Δ2\Delta_2song song khi: vector chỉ phương của chúng tỉ lệ, tức tồn tạikksao chou⃗1=ku⃗2\vec{u}_1 = k\vec{u}_2.
  • Hai đường thẳng vuông góc:u⃗1⋅u⃗2=0\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0.
  • Hai đường thẳng chéo nhau: không đồng phẳng, không cắt nhau, không song song.

e) Công thức khoảng cách từ điểmM0(x0,y0,z0)M_0 (x_0, y_0, z_0) đến đường thẳngΔ\DeltaquaA(x1,y1,z1)A(x_1, y_1, z_1), vector chỉ phươngu⃗\vec{u}:

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp trong đề thi

  • Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng theo các điều kiện (qua điểm, song song/vuông góc với mặt phẳng, với đường thẳng).
  • Dạng 2: Xác định quan hệ giữa hai đường thẳng (cắt nhau, song song, chéo nhau, vuông góc).
  • Dạng 3: Tìm giao điểm đường thẳng với mặt phẳng, hai đường thẳng.
  • Dạng 4: Tính khoảng cách (giữa hai đường thẳng chéo nhau, từ điểm đến đường thẳng…).
  • Dạng 5: Ứng dụng liên hệ giữa đường thẳng với mặt phẳng (ứng dụng trong hình chóp, lăng trụ…).

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

((Dạng 1)) Viết phương trình đường thẳng:
- Xác định tọa độ điểm đi qua và vector chỉ phương.
- Nếu yêu cầu liên quan tới song song/vuông góc, xác định vector chỉ phương tương ứng dựa vào mặt phẳng hoặc đường thẳng đã cho.
- Chọn dạng phương trình (tham số hoặc chính tắc) phù hợp với bài toán.

((Dạng 2)) Xác định quan hệ hai đường thẳng:
- So sánh vector chỉ phương và tính định thức giữa các vector.
- Giải hệ phương trình để tìm điểm chung (nếu có) và phân biệt các trường hợp: song song, trùng, cắt, chéo nhau.

((Dạng 3)) Tìm giao điểm:
- Giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng (theo tham số) và phương trình mặt phẳng hoặc hai đường thẳng.
- Kiểm tra số nghiệm tìm được để xác định có giao điểm hay không.

((Dạng 4)) Tính khoảng cách:
- Dùng công thức vectơ hình học để tính khoảng cách chỉ khi xác định rõ các vị trí tương đối.
- Kiểm tra điều kiện hai đường thẳng chéo nhau trước khi áp dụng công thức.

((Dạng 5)) Ứng dụng nâng cao:
- Đọc kỹ giả thiết, minh họa hình vẽ (nếu có).
- Chia nhỏ vấn đề thành các bước: xác định điểm, đường, mặt phẳng; ứng dụng công thức.
- Liên hệ các kiến thức tương tác giữa nhiều đối tượng.

6. Bài tập mẫu từ các đề thi trước với lời giải chi tiết

Bài tập 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểmA(2,1,3)A(2,1,3)song song với đường thẳngd:x−12=y+2−1=z−1d: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = z-1.

Giải:

- Đường thẳng đã cho có vector chỉ phươngu⃗=(2,−1,1)\vec{u} = (2, -1, 1).
- Đường thẳng cần tìm đi quaA(2,1,3)A(2,1,3), nhậnu⃗\vec{u}làm vectơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng cần tìm:

Bài tập 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳngd1:x−11=y−22=z−1d_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{-1}vàd2:x+12=y−11=z+2−2d_2: \frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+2}{-2}

Giải:

Hình minh họa: Minh họa ba trường hợp: ① Δ₁ và Δ₂ song song với \(\vec{u}_1=(1,2)\), \(\vec{u}_2=(2,4)=2\vec{u}_1\); ② Δ₁ và Δ₂ vuông góc với \(\vec{u}_1=(1,0)\), \(\vec{u}_2=(0,1)\), \(\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2=0\);
Minh họa ba trường hợp: ① Δ₁ và Δ₂ song song với \(\vec{u}_1=(1,2)\), \(\vec{u}_2=(2,4)=2\vec{u}_1\); ② Δ₁ và Δ₂ vuông góc với \(\vec{u}_1=(1,0)\), \(\vec{u}_2=(0,1)\), \(\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2=0\);

- Vector chỉ phương:u⃗1=(1,2,−1)\vec{u}_1 = (1,2,-1),u⃗2=(2,1,−2)\vec{u}_2 = (2,1,-2).
- Hai vector không tỉ lệ ⇒\Rightarrowhai đường thẳng không song song, không trùng.
- Xét hệ phương trình đường thẳng, không tồn tại nghiệm chung⇒\Rightarrowhai đường thẳng chéo nhau.

Bài tập 3: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

d:{x=1+2ty=3−tz=2+t(t∈R)d: \left\{\begin{array}{l} x = 1 + 2t \\y = 3 - t \\z = 2 + t \\\end{array}\right.(t \in \mathbb{R})
và mặt phẳngP:2x−y+z−5=0P: 2x-y+z-5=0.

Giải:

- Thayx,y,zx, y, zvào phương trình mặt phẳng:
2(1+2t)−(3−t)+(2+t)−5=02(1+2t) - (3-t) + (2+t) - 5 = 0
⇔2+4t−3+t+2+t−5=0\Leftrightarrow 2 + 4t - 3 + t + 2 + t - 5 = 0
⇔(4t+t+t)+(2−3+2−5)=0\Leftrightarrow (4t + t + t) + (2 - 3 + 2 - 5) = 0
⇔6t−4=0⇒t=23\Leftrightarrow 6t - 4 = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{3}

- Tọa độ giao điểm:x=1+2×23=73x = 1 + 2 \times \frac{2}{3} = \frac{7}{3}
y=3−23=73y = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}
z=2+23=83z = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}
Vậy giao điểm là M(73;73;83)M(\frac{7}{3}; \frac{7}{3}; \frac{8}{3}).

Bài tập 4: Tính khoảng cách giữa điểmA(1,−1,2)A(1,-1,2)và đường thẳng

d:{x=2+ty=1−2tz=3+t(t∈R)d: \left\{\begin{array}{l} x = 2 + t \\y = 1 - 2t \\z = 3 + t \\\end{array}\right.(t \in \mathbb{R})

Giải:

- Chọn điểm M0(1,−1,2)M_0(1,-1,2), điểm A(2,1,3)A(2,1,3)(trênddvớit=0t=0), vector chỉ phương u⃗=(1,−2,1)\vec{u} = (1,-2,1).
- Tính AM0→=(1−2,−1−1,2−3)=(−1,−2,−1)\overrightarrow{AM_0} = (1-2, -1-1, 2-3) = (-1, -2, -1)
-

AM0→×u⃗=∣ijk−1−2−11−21∣=(−4,0,4)\overrightarrow{AM_0} \times \vec{u} = \begin{vmatrix*} i & j & k \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\\end{vmatrix*} = (-4, 0, 4)

- Độ dài ∣AM0→×u⃗∣=(−4)2+02+42=32=42|\overrightarrow{AM_0} \times \vec{u}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
- ∣u⃗∣=12+(−2)2+12=6|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}
Vậy khoảng cách: d=426=233d = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải trong kỳ thi

  • Viết sai hoặc nhầm lẫn giữa phương trình tham số, chính tắc.
  • Chọn sai vector chỉ phương, đặc biệt khi đề yêu cầu vuông góc hoặc song song với đường thẳng/mặt phẳng.
  • Thiếu kiểm tra điều kiện tỉ lệ hoặc tích vô hướng trong các bài xác định quan hệ.
  • Tính sai tích có hướng hoặc độ dài vector.
  • Giải hệ phương trình sai khi tìm giao điểm.
  • Không trình bày rõ ràng các bước hoặc quên viết điều kiện tham số t∈Rt \in \mathbb{R}.

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian

Hai tuần trước thi:

- Hệ thống toàn bộ lý thuyết cốt lõi, ghi chú lại công thức bằng flashcards.
- Làm các bài tập mẫu từng dạng, chú ý giải thích rõ từng bước.
- Trao đổi, hỏi đáp các thắc mắc với bạn bè hoặc giáo viên.

Một tuần trước thi:

- Hoàn thiện các dạng bài tập tổng hợp.
- Làm đề thi thử, chấm điểm, tự rút kinh nghiệm các lỗi sai.
- Tập giải nhanh các câu trắc nghiệm.

Ba ngày trước thi:

- Ôn lại những lỗi hay mắc, hệ thống sơ đồ tư duy.
- Đọc lại lý thuyết và các mẹo bỏ túi.
- Giữ tinh thần thoải mái, ngủ đủ giấc.

9. Các mẹo làm bài nhanh và chính xác

  • Khi có thể, ưu tiên chọn điểm có số nhỏ nhất, thuận tiện nhất để tính toán.
  • Phân tích kỹ đầu bài, gạch chân từ khóa (song song, vuông góc, giao…)
  • Vẽ hình minh họa đơn giản để mường tượng quan hệ không gian.
  • Sử dụng công thức vector thay vì hệ phương trình phức tạp khi khoảng cách và xác định quan hệ.
  • Tận dụng máy tính bỏ túi trong các phép tính số học và kiểm tra lại đáp số.

Tổng kết

Với sự chuẩn bị chu đáo theo các hướng dẫn trong bài viết này, bạn chắc chắn sẽ tự tin và làm bài hiệu quả phần "ôn thi Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian lớp 12" cũng như xử lý thành công các tình huống xuất hiện trong đề thi. Đừng quên luyện tập nhiều dạng đề và áp dụng linh hoạt các công thức, phương pháp đã học.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".