Ôn thi Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian lớp 12: Hướng dẫn toàn diện chinh phục kỳ thi

1. Giới thiệu: Tầm quan trọng của ôn thi Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian lớp 12

Chủ đề “Phương trình đường thẳng trong không gian” là phần trọng tâm của chương trình Hình học 12, chiếm nhiều điểm số trong các đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia và các kỳ thi kiểm tra định kỳ. Hiểu vững lý thuyết, thành thạo kỹ năng giải bài tập chủ đề này giúp nâng cao đáng kể điểm số môn Toán, đồng thời rèn tư duy hình học và khả năng liên hệ thực tế cho học sinh lớp 12.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

- Vị trí tương đối giữa các đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Định nghĩa, tính chất của vectơ chỉ phương, điểm thuộc đường thẳng.

- Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian: chính tắc, tham số, dạng tổng quát.

- Phương pháp xác định phương trình đường thẳng qua 2 điểm, song song/mặt phẳng, vuông góc/mặt phẳng.

3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm$A(x_0, y_0, z_0)$, có vectơ chỉ phương$\vec{u} = (a, b, c)$:

\quad (t$\in$\mathbb{R})

- Phương trình chính tắc:

$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$
Với$a, b, c \neq 0$.

- Điều kiện để hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng$d_1, d_2$có vectơ chỉ phương$\vec{u}_1, \vec{u}_2$là song song khi$\vec{u}_1 = k\vec{u}_2$($k \neq 0$).

- Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc:$\vec{u}_1 \perp \vec{u}_2 \Leftrightarrow \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0$

- Phương trình đường thẳng giao của hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng$\alpha: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$,$\beta: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$, thì đường thẳng giao của chúng có phương trình:

Chọn 1 ẩn làm tham số, giải hệ để ra dạng tham số.

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp trong đề thi

- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, song song hoặc vuông góc với một đường thẳng/mặt phẳng cho trước.

- Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng.

- Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng (chéo nhau, song song, cắt nhau) và giữa đường thẳng, mặt phẳng.

- Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng hoặc giữa hai đường thẳng chéo nhau (mức độ nâng cao).

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

- Với bài yêu cầu viết phương trình đường thẳng: Đầu tiên, xác định tọa độ điểm đi qua, vectơ chỉ phương bằng phương pháp xác lập hoặc dựa vào đề. Lưu ý viết đúng dạng phương trình yêu cầu (tham số, chính tắc).

- Với bài xác định vị trí tương đối: So sánh vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến; dùng định thức; giải hệ phương trình kiểm tra giao điểm.

- Với bài tìm giao điểm: Thế các tham số của đường thẳng vào mặt phẳng, giải hệ để tìm$t$, từ đó ra tọa độ giao điểm.

- Với bài toán nâng cao: Tận dụng các công thức khoảng cách, hình chiếu, vectơ pháp tuyến để giải.

6. Bài tập mẫu từ các đề thi trước và lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm$A(1, 2, 3)$và $B(4, -1, 2)$.

Giải:

Vectơ chỉ phương$\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (4-1, -1-2, 2-3) = (3, -3, -1)$.
Phương trình tham số:

Ví dụ 2: Cho đường thẳng$d: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{3}$và mặt phẳng$(P): 2x - y + z - 4 = 0$. Tìm tọa độ giao điểm.

Giải:

Đặt$\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{3} = t$.

Khi đó,$x = 1 + 2t$,$y = -1 - t$,$z = 3t$.

Thế vào mặt phẳng:

$2x - y + z - 4 = 2(1+2t) - (-1 - t) + 3t - 4 = 2 + 4t + 1 + t + 3t - 4$

Giao điểm có tọa độ:
$x = 1 + 2 \times \frac{1}{8} = 1.25$
$y = -1 - \frac{1}{8} = -1.125$
$z = 3 \times \frac{1}{8} = 0.375$

Vậy giao điểm là $M(1.25; -1.125; 0.375)$.

Ví dụ 3: Chứng minh hai đường thẳng$d_1, d_2$chéo nhau.

,.

Giải:

- Xét vectơ chỉ phương:$\vec{u}_1 = (1, -1, 2)$,$\vec{u}_2 = (2, 1, -1)$.

-$\vec{u}_1$không cùng phương$\vec{u}_2$(do$\frac{1}{2} \ne \frac{-1}{1}$).
- Kiểm tra hệ phương trình:

$x = 1 + t = 2s<!--LATEX_PROCESSED_1755625838128--></p><p>y = 2 - t = 1 + s<br />z = 3 + 2t = 4 - s$

y = 2 - t = 1 + s
z = 3 + 2t = 4 - s$

Giải hệ, nếu không tìm được$(t, s)$thoả mãn 3 phương trình thì hai đường chéo nhau (không cắt, không song song).

Bấm máy hoặc giải nhanh thử, hệ này vô nghiệm => d1, d2 chéo nhau.

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải trong kỳ thi

- Nhầm lẫn vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.
- Viết sai phương trình tham số, chính tắc hoặc gán t nhầm khi chuyển đổi.
- Sai khi giải hệ, sai dấu, quên điều kiện của$t$.
- Thiếu kiểm tra điều kiện tồn tại (vd. mẫu số không được bằng 0 ở phương trình chính tắc).
- Không xác định chính xác vị trí tương đối giữa hai đối tượng.

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian (2 tuần, 1 tuần, 3 ngày trước thi)

2 tuần trước thi: Ôn lại lý thuyết, công thức, nắm vững các dạng bài trọng tâm, bắt đầu luyện đề cơ bản, ghi chú các lỗi sai cá nhân.
1 tuần trước thi: Tập trung giải các đề thi thử, đề chính thức các năm, rà soát kỹ lại các lỗi thường gặp, ôn công thức đặc biệt, luyện giải nhanh hơn.
* 3 ngày trước thi: Chỉ đọc lại lý thuyết/công thức, không học thêm kiến thức mới, xem lại những ví dụ đã từng sai, giữ tinh thần tự tin, ngủ đủ.

9. Mẹo làm bài nhanh và chính xác

- Quy ước rõ dạng phương trình (tham số, chính tắc) và thao tác cẩn thận khi chuyển đổi.
- Luôn xác định chính xác vectơ chỉ phương.
- Ưu tiên sử dụng phương pháp tọa độ, máy tính để kiểm tra nhanh nghiệm, đặc biệt các bài tìm giao điểm.
- Trước khi kết luận vị trí tương đối của hai đường, luôn kiểm tra đủ các điều kiện: song song, cắt, chéo.
- Nên tóm tắt đề bài, vẽ sơ đồ đơn giản nếu có thể.