Ôn thi Bài 3: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ lớp 12 – Hướng dẫn chi tiết và chiến lược đạt điểm tối đa

1. Giới thiệu – Vì sao phải ôn kỹ bài Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ?

Bài 3: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ là một nội dung then chốt trong chương trình Toán 12, xuất hiện nhiều trong các đề thi học kỳ, thi thử, đặc biệt là đề thi tốt nghiệp THPT (cả phần tự luận lẫn trắc nghiệm). Thành thạo phần này giúp học sinh xử lý tốt các dạng bài hình học không gian có tọa độ, bài toán tính chiều dài, góc, kiểm tra tính song song, vuông góc… Việc ôn kỹ phần này là chìa khóa đạt điểm tối đa ở các câu hỏi nhận biết, thông hiểu và vận dụng liên quan đến vectơ trong hệ tọa độ Oxyz.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

Để ôn thi Bài 3: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ lớp 12 hiệu quả, học sinh cần chắc chắn các ý sau:

• Hiểu khái niệm vectơ trong không gian, cách xác định tọa độ của vectơ khi biết hai điểm.
• Cách cộng, trừ, nhân vectơ với số thực trên hệ trục tọa độ.
• Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ: cộng, trừ, tích vô hướng, độ dài, điều kiện song song, vuông góc.
• Áp dụng linh hoạt vào bài toán thực tế: xác định trung điểm, chia đoạn thẳng, kiểm tra tính đồng phẳng…

3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

Dưới đây là bảng tổng hợp các công thức ôn thi Bài 3: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ lớp 12 bạn cần ghi nhớ:

- Nếu$A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$thì:

Tọa độ vectơ:

\overrightarrow{AB} =$(x_2 - x_1,\y_2 - y_1,\z_2 - z_1)$

Cộng, trừ và nhân vectơ với số thực:

\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\ \overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)

\overrightarrow{a}\ + \overrightarrow{b} =$(a_1 + b_1,\a_2 + b_2,\a_3 + b_3)$

\overrightarrow{a}\ - \overrightarrow{b} =$(a_1 - b_1,\a_2 - b_2,\a_3 - b_3)$

k\overrightarrow{a} = (ka_1,\ka_2,\ka_3)\ \ (k$\in$\mathbb{R})

Tích vô hướng (dot product):

$<br />\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3<br />$

Độ dài (modun) của vectơ:

$|<br />\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

Điều kiện song song:$\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$hoặc$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$(nếu$b_1, b_2, b_3 \neq 0$)

Điều kiện vuông góc:$<br />\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$

Chia đoạn thẳng theo tỉ số $k$:

Điểm$M$chia đoạn$AB$theo tỉ số $k$có tọa độ:

$M\left(\frac{x_1 + kx_2}{1+k},\ \frac{y_1 + ky_2}{1+k},\ \frac{z_1 + kz_2}{1 + k}\right)$

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp trong đề thi

Các đề thi ôn tập và thi thật môn Toán lớp 12 thường xuất hiện các dạng bài sau liên quan đến Bài 3:

• Tìm tọa độ vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, hoặc vectơ giữa hai điểm.
• Tính độ dài, tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra song song/ vuông góc của hai vectơ.
• Tìm tọa độ điểm thỏa mãn tính chất hình học (trung điểm, chia đoạn tỉ lệ…, điểm thuộc mặt phẳng, giao tuyến...).
• Chứng minh ba điểm thẳng hàng, kiểm tra đồng phẳng.

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

Để ôn thi Bài 3: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ lớp 12 hiệu quả, từng dạng bài cần có hướng tiếp cận phù hợp:

1. Dạng xác định tọa độ vectơ giữa hai điểm:
   - Ghi nhớ quy tắc lấy điểm sau trừ điểm trước cho từng hoành độ, tung độ, cao độ.
   - Chỉ cần cẩn thận với dấu trừ và sắp xếp thứ tự hai điểm.
2. Dạng tính độ dài vectơ:
   - Dùng ngay công thức căn bậc hai tổng bình phương các thành phần hoành, tung, cao độ.
   - Lưu ý chỉ lấy giá trị dương.
3. Dạng tính góc giữa hai vectơ:
   - Áp dụng công thức tích vô hướng và nhớ tính độ lớn hai vectơ trước khi chia lấy cosin.
   - Xác định chính xác giá trị góc, chú ý trường hợp đặc biệt song song, vuông góc.
4. Dạng kiểm tra tính song song, vuông góc:
   - Nên tính chậm và kiểm tra bằng hai phép: tỷ số các thành phần (song song), tích vô hướng (vuông góc) để tránh nhầm lẫn.
   - Nếu bài yêu cầu tố giác hợp với mặt phẳng, nhớ vận dụng cả vectơ pháp tuyến.
5. Dạng điểm chia đoạn thẳng, trung điểm:
   - Nắm công thức tổng quát, áp dụng linh hoạt để đáp án nhanh.

6. Bài tập mẫu từ các đề thi trước với lời giải chi tiết

Bài tập 1. Cho$A(2, -1, 3)$,$B(5, 2, 6)$. Hãy tính tọa độ $\overrightarrow{AB}$và độ dài$AB$.

Lời giải:

$\overrightarrow{AB} = (5-2,\ 2-(-1),\ 6-3) = (3,\ 3,\ 3)$

$AB = \left| \overrightarrow{AB} \right| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}=\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

Bài tập 2. Cho$\overrightarrow{a}=(2,1,-3)$,$\overrightarrow{b}=(4,-2,5)$. Tính$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$và $2\overrightarrow{a}$.

Lời giải:

\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = (2+4,\ 1+(-2),\ -3+5) = (6,-1,2)

\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} = (2-4,\ 1-(-2),\ -3-5) = (-2,3,-8)

2\overrightarrow{a} = (4,2,-6)

Bài tập 3. Cho$\overrightarrow{a}=(1,2,-1)$,$\overrightarrow{b}=(2,-4, k)$. Tìm$k$để$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$.

Lời giải:$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=1 \cdot 2+2 \cdot (-4)+(-1)k=2-8-k=-6-k=0\implies k=-6$

*Bài tập 4. Cho$A(1,2,-3)$,$B(3,0,1)$,$C(4,-1,2)$. Chứng minh ba điểm không thẳng hàng.

Lời giải:

Tìm$\overrightarrow{AB}=(2,-2,4)$,$\overrightarrow{AC}=(3,-3,5)$. Nếu$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$thì các tỷ số phải bằng nhau:

$\frac{2}{3} \neq \frac{-2}{-3} \neq \frac{4}{5}$. Kết luận:$A, B, C$không thẳng hàng.

Bài tập 5. Tìm tọa độ điểm$M$chia$AB$($A(0,2,3)$,$B(2,4,-1)$) theo tỉ số $1:2$($AM:MB=1:2$).

Lời giải:

Áp dụng công thức chia đoạn,$k=\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{1}{2}$:
$M\left(\frac{0+1 \cdot 2}{1+2},\ \frac{2+1 \cdot 4}{1+2},\ \frac{3+1 \cdot (-1)}{1+2}\right)=(\frac{2}{3},2,\frac{2}{3})$

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải trong kỳ thi

• Nhầm lẫn ký hiệu$\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{BA}$: luôn nhớ thứ tự điểm ảnh hưởng đến dấu các thành phần.
• Quên đổi dấu khi trừ tọa độ hai điểm.
• Quên lấy giá trị dương khi tính độ dài.
• Sai khi chia đoạn tỉ lệ: nhầm lẫn vai trò $A,B$, ngược tỉ số.
• Viết tắt, thiếu dấu ngoặc làm sai phép tính.

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian – Đề xuất 2 tuần, 1 tuần và 3 ngày trước thi

- 2 tuần trước thi: Đọc lý thuyết, làm lại các bài tập mẫu đã giải, ghi nhớ công thức cốt lõi. Mỗi ngày dành 30 phút luyện tập dạng bài khác nhau, chú ý các bài trong SGK và SBT.

- 1 tuần trước thi: Tăng tần suất luyện đề trắc nghiệm, tập trung phân dạng bài và tự giải lại không mở đáp án, phát hiện lỗ hổng kiến thức để bổ sung.

- 3 ngày cuối: Hệ thống hóa các lỗi dễ mắc qua việc tổng hợp sai sót từng dạng, ôn công thức, luyện 10-15 bài trắc nghiệm xen kẽ tự luận.

9. Các mẹo làm bài nhanh và chính xác

• Lập bảng nháp các giá trị toạ độ từng điểm để tránh nhầm thứ tự khi tính$\overrightarrow{AB}$.
• Gạch chân/sử dụng highlight các từ khóa trong đề (chia đoạn, trung điểm, song song, vuông góc…).
• Tính từng bước, gõ máy tính sau mỗi phép cộng/trừ thành phần của vectơ.
• Nhớ rà soát chính tả, dấu trừ, không vội vàng chuyển sang câu mới nếu chưa kiểm tra.
• Nếu không giải được hoàn chỉnh, hãy giải từng phần, ghi rõ phương pháp vận dụng - vẫn có điểm phần.

Tổng kết

Kỹ năng ôn thi Bài 3: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ lớp 12 là cực kỳ thiết yếu để đạt điểm tối đa các câu chịu trách nhiệm kiến thức nền tảng phần hình học không gian. Hãy luyện thật kỹ qua đề thi, nắm vững các mẹo và công thức để luôn chủ động trong mọi tình huống khi thi THPT.