1. Giới thiệu về tầm quan trọng của Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số là nền tảng quan trọng trong chương trình Giải tích lớp 12. Phần này thường chiếm từ 15–20% số điểm trong đề thi THPT Quốc gia và các kỳ kiểm tra định kỳ. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng khảo sát hàm số giúp các bạn tự tin giải quyết các bài tập về cực trị, đồ thị và ứng dụng thực tiễn.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

Để ôn thi hiệu quả, các em cần tổng hợp và hệ thống lại các nội dung sau:

- Khái niệm đạo hàm của hàm số $f(x)$và ý nghĩa hình học của$f'(x)$.

- Đạo hàm cơ bản:$(x^n)'=n x^{n-1},",(e^x)'=e^x,",(\ln x)'=\frac1x,$marks```}]},{- Điều kiện tồn tại và tính liên tục của hàm số khảo sát. Định lý giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên khoảng đóng.

3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

Dưới đây là các công thức đạo hàm và điều kiện phải nhớ:

-$(u+v)'=u'+v'$và $(u v)'=u'v+uv'$.

- Đạo hàm ngược: nếu$f'(x)=0$trên khoảng thì $f(x)$là hằng.

- Điều kiện khảo sát: xác định$D$, tìm$f'(x)$, giải$f'(x)=0$, xét dấu$f'$và lập bảng biến thiên.

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp trong đề thi

Các dạng chính:

- Dạng 1: Tìm tập xác định$D$và tính$f'(x)$.

- Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

- Dạng 3: Tìm cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên$[a,b]$.

- Dạng 4: Các bài toán ứng dụng đạo hàm vào thực tế (từ tối ưu hoá đến vận tốc chuyển động).

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

Dạng 1:

• Xác định miền giá trị $D$bằng cách phân tích biểu thức.

• Tính đạo hàm đúng cú pháp LaTeX, đơn giản hoá và lưu ý quy tắc đạo hàm.

Dạng 2:

• Sau khi có bảng biến thiên, đánh dấu các cực trị và đường tiệm cận nếu có.

• Vẽ đồ thị sơ bộ.

Dạng 3:

• Giải$f'(x)=0$ để tìm ứng viên cực trị.

• Lựa chọn giá trị biên và ứng viên trong$[a,b]$, so sánh$f(a),f(b),f(x_i)$.

Dạng 4:

• Dịch đề: gán biến, xác định hàm mục tiêu.

6. Bài tập mẫu từ các đề thi trước với lời giải chi tiết

Ví dụ 1 (Đề thi THPT Quốc gia 2020): Khảo sát hàm số $f(x)=x^3-3x+1$.

Giải:

•$D=\mathbb R$.

•$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.

• Giải$f'(x)=0 \Rightarrow x= \pm 1$. Bảng biến thiên:

x | -∞ | -1 | 1 | +∞

f' | + | 0 | - | 0 | +

f | -∞ | 2 | -2 | +∞

• Kết luận: Hàm tăng trên$(-\infty,-1)$và $(1,+\infty)$, giảm trên$(-1,1)$, cực đại tại$x=-1$với$f(-1)=2$, cực tiểu tại$x=1$với$f(1)=-2$.

Ví dụ 2 (Đề thi thử 2021): Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$trên$[0,2]$.

Giải:

• $D=\mathbb R\setminus\{0\}$, nhưng trên $[0,2]$loại$x=0$ không làm hàm vô định.

•$f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$. Giải$f'(x)=0 \Rightarrow x=1$.

• So sánh:$f(0)=0$,$f(1)=\frac12$,$f(2)=\frac{2}{5}=0.4$.

• Kết luận: Giá trị lớn nhất$\frac12$tại$x=1$, nhỏ nhất$0$tại$x=0$.

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải trong kỳ thi

- Nhầm lẫn dấu khi xét dấu$f'(x)$dẫn đến bảng biến thiên sai.

- Quên kiểm tra miền xác định trước khi tính đạo hàm.

- Không xét giá trị biên khi làm bài tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn.

- Viết sai cú pháp LaTeX trong bài thi trên máy tính (nếu thi tin học).

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian

Hai tuần trước thi:

- Ngày 1-3: Ôn lại lý thuyết về đạo hàm và bảng biến thiên.

- Ngày 4-7: Luyện tập 10 bài khảo sát hàm số điển hình.

- Ngày 8-14: Bắt đầu làm 2 đề thi thử mỗi tuần và đối chiếu đáp án.

Một tuần trước thi:

- Ôn lại công thức, sai lầm đã gặp và bài tập khó.

- Làm 1 đề thi THPT Quốc gia tập trung vào Chương I.

Ba ngày trước thi:

- Ôn nhanh lý thuyết, công thức, checklist kiểm tra bước giải.

- Nghỉ ngơi, ăn đủ dinh dưỡng để đầu óc minh mẫn.

9. Các mẹo làm bài nhanh và chính xác

- Luôn ghi rõ miền xác định$D$ngay đầu bài.

- Dùng máy tính cầm tay hoặc phần mềm CAS để kiểm tra kết quả với bài toán phức tạp.

- Lập bảng biến thiên gọn gàng, đánh dấu rõ dấu +/– của$f'(x)$.

- Khi vẽ đồ thị, chỉ vẽ đặc điểm chính: cực trị, tiệm cận, giới hạn.

Chúc các em ôn thi hiệu quả và đạt điểm cao trong môn Toán!