1. Giới thiệu về tầm quan trọng của chủ đề trong kỳ thi

Trong kỳ thi THPT Quốc gia và các bài kiểm tra định kỳ, phần thống kê thường chiếm khoảng 5–7 điểm. Chương III “Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm” là nội dung quan trọng, giúp học sinh đánh giá sự phân tán của dữ liệu, từ đó hiểu sâu hơn về phân phối tần suất. Nắm vững chương này giúp bạn tự tin giải cả bài lý thuyết và bài thực tế, tăng điểm số rõ rệt.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

– Khái niệm độ phân tán: phạm vi biến thiên, độ biến thiên trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên.

– Cách xác định điểm giữa lớp ($\tilde x_i$) cho dữ liệu ghép nhóm.

– Công thức tính: trung bình, phương sai$s^2$, độ lệch chuẩn$s$, hệ số biến thiên$CV$.

– Phương pháp tính phân vị $Q_1$,$Q_2$,$Q_3$với dữ liệu ghép nhóm (công thức nội suy).

3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

Giả sử mẫu gồm $k$lớp, tần số tương đối$f_i$, tần số tuyệt đối $n_i$, tổng quan sát $N=\sum n_i$, điểm giữa lớp $\tilde x_i$.

– Trung bình:

$\displaystyle \bar x = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^k n_i \tilde x_i$

– Phương sai:

$\displaystyle s^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^k n_i (\tilde x_i - \bar x)^2$

– Độ lệch chuẩn:

$s = \sqrt{s^2}$

– Hệ số biến thiên:

$CV = \frac{s}{|\bar x|} \times 100\%$

– Phân vị $Q_p$(nội suy):

Giả sử lớp chứa$Q_p$có biên dưới$L$, tần số $n_p$, tần suất tích lũy trước lớp là $F_b$, độ rộng lớp$h$. Khi đó:

$Q_p = L + \frac{\frac{p}{100}N - F_b}{n_p} \times h$

Điều kiện áp dụng: dữ liệu phải được phân thành các lớp đều hay lẻ đều được; với lớp mở rộng vô hạn, cần ước lượng hợp lý.

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp

a) Tính trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn và hệ số biến thiên của mẫu ghép nhóm.

b) So sánh độ phân tán giữa hai mẫu (dựng bảng tóm tắt, so sánh$CV$).

c) Tính phân vị, tứ phân vị ($Q_1$,$Q_2$,$Q_3$) và vẽ hộp biểu đồ.

d) Ứng dụng vào thực tế: phân tích số liệu điều tra, khảo sát.

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

– Dạng (a): Chuẩn bị sẵn bảng với cột$\tilde x_i$,$n_i$,$n_i(\tilde x_i)$,$n_i(\tilde x_i-\bar x)^2$. Tính$\bar x$trước, sau đó điền tiếp cột phương sai.

– Dạng (b): Tính$CV$và so sánh; câu nào yêu cầu nhận xét, nêu chính xác mẫu nào phân tán hơn.

– Dạng (c): Tính$Q_1$,$Q_2$,$Q_3$bằng công thức nội suy; vẽ hộp cần ghi rõ min, max, Q1, Q2, Q3.

– Dạng (d): Đọc kỹ đề, xác định rõ biến điều tra, thu thập tần số, sau đó áp dụng công thức.

6. Bài tập mẫu từ các đề thi trước với lời giải chi tiết

Ví dụ 1 (Đề THPT Quốc gia 2023): Cho bảng sau:

Lớp biến thiên [10; 20), [20; 30), [30; 40)
Tần số 5, 8, 7.

a) Tính$\bar x$,$s^2$,$s$.

b) Tính$CV$và nhận xét về độ phân tán.

Lời giải:

– Tính điểm giữa:$\tilde x_1=15$,$\tilde x_2=25$,$\tilde x_3=35$;$N=5+8+7=20$.

– Trung bình:$\bar x=\frac{5 \times 15+8 \times 25+7 \times 35}{20}=\frac{75+200+245}{20}=\frac{520}{20}=26.$

– Phương sai: tính bảng:

nᵢ | x̃ᵢ | (x̃ᵢ−26)² | nᵢ(x̃ᵢ−26)²
5 | 15 | 121 | 605
8 | 25 | 1 | 8
7 | 35 | 81 | 567
Tổng | 20 | — |1180

$s^2=\frac{1180}{20}=59,\quad s=\sqrt{59} \approx 7.68.$

– Hệ số biến thiên:$CV=\frac{7.68}{26} \times 100\% \approx 29.5\%.$Độ phân tán lớn.

Ví dụ 2 (Đề kiểm tra định kỳ): Cho dữ liệu ghép nhóm, yêu cầu tính$Q_1$,$Q_3$.

Giải tương tự bằng công thức nội suy.

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải

– Sai xác định điểm giữa lớp (nhầm$\tilde x_i$và biên).

– Không tính hoặc tính sai$\bar x$dẫn đến sai toàn bộ cột phương sai.

– Quên áp dụng công thức nội suy cho phân vị.

– Nhầm biến cố so sánh hệ số biến thiên.

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian

2 tuần trước: Tổng hợp lý thuyết, ghi chú công thức, làm 10–15 bài đa dạng.

1 tuần trước: Làm đề thi thử có phần thống kê, bấm giờ, đối chiếu đáp án.

3 ngày trước: Ôn nhanh công thức, rà soát lỗi, luyện cách trình bày ngắn gọn.

9. Các mẹo làm bài nhanh và chính xác

– Luôn xác định$N$và $\tilde x_i$trước khi tính trung bình.

– Dùng máy tính cầm tay để tính nhanh cột$n_i(\tilde x_i-\bar x)^2$.

– Khi so sánh độ phân tán, tập trung vào$CV$chứ không chỉ $s$.

– Vẽ sơ bộ hộp biểu đồ để minh họa kết quả phân vị.