Ôn thi Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12 – Lý thuyết, bài tập và chiến lược làm bài hiệu quả

1. Tầm quan trọng của "Đường tiệm cận" trong các kỳ thi

Chủ đề "Đường tiệm cận của đồ thị hàm số" là một trong những phần kiến thức trọng tâm của chương trình Giải tích lớp 12, xuất hiện đều đặn trong tất cả các kỳ thi lớn như thi tốt nghiệp THPT, thi thử, kiểm tra học kỳ và các kỳ thi học sinh giỏi. Việc nắm vững lý thuyết về đường tiệm cận không chỉ giúp bạn đạt điểm tối đa ở các câu hỏi liên quan mà còn là chìa khóa để khắc họa chính xác đồ thị hàm số, xử lý các bài toán khảo sát hàm số.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững khi ôn thi đường tiệm cận lớp 12

• Định nghĩa tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
• Điều kiện tồn tại của từng loại tiệm cận.
• Cách tìm giới hạn hàm số để xác định tiệm cận.
• Phân tích các trường hợp riêng: hàm hữu tỉ, hàm chứa căn, dạng hỗn hợp.

3. Công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

a) Tiệm cận đứng:

Nếu$\displaystyle \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \pm \infty$thì đường thẳng$x = x_0$là tiệm cận đứng của đồ thị $y = f(x)$.

b) Tiệm cận ngang:

Nếu$\displaystyle \lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = a$thì đường thẳng$y = a$là tiệm cận ngang của đồ thị $y = f(x)$.

c) Tiệm cận xiên:

Nếu$\displaystyle \lim\limits_{x \to \pm \infty} \left( f(x) - (ax + b) \right) = 0$với$a \neq 0$, thì $y = ax + b$là tiệm cận xiên của đồ thị $y = f(x)$.

Cách tìm$a, b$:

$a = \displaystyle \lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$;$b = \displaystyle \lim\limits_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax)$

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp trong đề thi

• Dạng 1: Xác định tiệm cận của hàm hữu tỉ ($f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$)
• Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có (hoặc không có) loại tiệm cận cho trước
• Dạng 3: Phân tích đa thức bậc cao hoặc hàm chứa căn để xác định tiệm cận
• Dạng 4: Ứng dụng đường tiệm cận trong khảo sát, vẽ đồ thị hàm số
• Dạng 5: Bài toán thực tế gắn với ứng dụng tiệm cận trong mô hình hóa

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

- Dạng 1 (Hàm hữu tỉ):
- Tiệm cận đứng: Giải phương trình$Q(x) = 0$, kiểm tra mẫu số.
- Tiệm cận ngang: So sánh bậc tử và mẫu, sử dụng quy tắc giới hạn.
- Tiệm cận xiên: Nếu bậc tử lớn hơn mẫu đúng 1 đơn vị, thực hiện phép chia đa thức.
- Dạng 2 (Điều kiện tham số): Xét điều kiện tồn tại dựa vào hệ số tham số và yêu cầu bài toán.
- Dạng 3 (Hàm hỗn hợp/căn): Phân tích cấu trúc hàm để kiểm tra khi$x \to \infty$, trả về dạng tổng quát tối giản. Áp dụng định nghĩa giới hạn.
- Dạng 4, 5 (Ứng dụng): Dựa trên tiệm cận đã tìm được, phác thảo đồ thị; xác định vị trí tương đối của đồ thị với các đường tiệm cận.

6. Bài tập mẫu từ các đề thi trước – Lời giải chi tiết

Ví dụ 1 (Đề thi THPT quốc gia 2020): Xét hàm số $f(x) = \frac{2x^2+1}{x-1}$. Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị.

Giải:

• Tiệm cận đứng:$x-1=0 \Leftrightarrow x=1$
• Tiệm cận ngang:$\displaystyle \lim\limits_{x\to \pm \infty} \frac{2x^2+1}{x-1} = \infty$(không tồn tại)
• Tiệm cận xiên: Do bậc tử (2) lớn hơn bậc mẫu (1) đúng 1 đơn vị, chia đa thức:$2x^2+1 = (x-1) \cdot 2x + (2x+1)$
  Ta được$f(x) = 2x + \frac{2x+1}{x-1}$.
  $herefore \displaystyle \lim\limits_{x \to \infty} (f(x) - 2x) = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x-1} = 2$
  Vậy tiệm cận xiên:$y = 2x + 2$

Ví dụ 2 (Đề thi thử 2023): Cho hàm số $y = \frac{3x+1}{x^2+1}$, hãy xác định các tiệm cận.

• Tiệm cận đứng:$x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x$không có nghiệm thực, KHÔNG có tiệm cận đứng.
• Tiệm cận ngang:
  $\displaystyle \lim\limits_{x\to \pm \infty} \frac{3x+1}{x^2+1} \to 0$, nên$y = 0$là tiệm cận ngang.
• Tiệm cận xiên:
  Do bậc tử < bậc mẫu, nên không tồn tại tiệm cận xiên.

Ví dụ 3 (Có tham số): Cho hàm số $y = \frac{x^2 + m}{x - m}$($m$tham số), tìm điều kiện của$m$ để hàm số có tiệm cận đứng và xiên.

Giải:

• Tiệm cận đứng:$x - m = 0 \Rightarrow x = m$. Hàm có tiệm cận đứng với mọi$m$.
• Tiệm cận xiên: Chia đa thức (bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng 1),$\frac{x^2 + m}{x - m} = x + m + \frac{2m}{x - m}$.
  Khi$x \to \infty$,$\frac{2m}{x-m} \to 0$, nên$y = x + m$là tiệm cận xiên với mọi$m$.

Ví dụ 4 (Hàm chứa căn): $y = \frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$. Tìm các tiệm cận.

Giải: Tiệm cận đứng: $\sqrt{x^2+1}$xác định với mọi$x$, KHÔNG có tiệm cận đứng.
Tiệm cận ngang:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to +\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2+1}} = \lim\limits_{x\to +\infty} \frac{2}{\sqrt{1 + 1/x^2}} = 2$
$\displaystyle \lim\limits_{x\to -\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2+1}} = \lim\limits_{x\to -\infty} \frac{2x}{|x|} = -2$
Vậy đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=2$và $y=-2$.

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải trong kỳ thi

• Nhầm lẫn giữa tiệm cận đứng và giá trị đặc biệt không xác định (bỏ qua kiểm tra giới hạn).
• Không so sánh bậc tử và mẫu đúng cách để xác định tiệm cận ngang, xiên.
• Không phân tích kỹ hàm chứa căn hoặc hàm đặc biệt (bỏ qua điều kiện xác định).
• Không kiểm tra các trường hợp đặc biệt$x \to \pm \infty$ đầy đủ (chỉ xét một phía).

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian

- 2 tuần trước thi: Ôn lý thuyết, nhẩm lại các công thức, vẽ sơ đồ tư duy tổng hợp các dạng bài tập.
- 1 tuần trước thi: Luyện giải đề tổng hợp theo chuyên đề tiệm cận. Ghi chú lại những lỗi sai hay gặp, các tình huống đặc biệt.
- 3 ngày trước thi: Làm lại các đề chính thức, rà soát công thức và các bước giải ngắn gọn nhất, tự kiểm tra bằng flashcard.

9. Mẹo làm bài nhanh và chính xác

• Ghi nhớ bảng so sánh bậc tử - bậc mẫu để xác định nhanh tiệm cận ngang/xiên.
• Khi gặp đa thức bậc lớn, nên thực hiện phép chia để rút gọn biểu thức.
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi xét tiệm cận đứng hoặc khi làm hàm chứa căn.
• Làm bài trắc nghiệm: Dùng thử giá trị lớn nhỏ cho$x$, chú ý giới hạn một phía ($x \to x_0^ \pm$).
• Tập luyện với các đề cũ, đánh dấu lại câu hay sai hoặc chưa chắc chắn.