Blog

Lớp 12

Ôn thi Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 12

T
Tác giả
•
•8 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

Giới thiệu về tầm quan trọng của chủ đề

Trong chương trình Giải tích lớp 12, việc xác định giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số là một nội dung trọng tâm, xuất hiện thường xuyên trong đề thi THPT Quốc gia và các kỳ thi đại học. Khả năng vận dụng thành thạo kiến thức này giúp thí sinh giải quyết nhanh các bài toán thực tế, ứng dụng và tối ưu hóa. Nội dung ôn thi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 12 không chỉ kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm mà còn đòi hỏi tư duy phân tích, lập luận chặt chẽ. Vì vậy, việc hệ thống lại công thức, điều kiện và chiến lược làm bài là chìa khóa để đạt điểm cao.

1. Tổng hợp kiến thức trọng tâm

  • Domain (miền xác định) của hàm số: Xác định tập hợp giá trị xxsao cho hàmf(x)f(x)có nghĩa.
  • Đạo hàmf′(x)f'(x)và điểm tới hạn: Giảif′(x)=0f'(x)=0và xét những điểm đạo hàm không xác định thuộc miền.
  • Xét dấu đạo hàm: Sử dụng dấu củaf′(x)f'(x) để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
  • Kiểm tra đầu mút của khoảng (nếu có): Tínhf(a)f(a)và f(b)f(b)với khoảng đóng[a,b][a,b].
  • Kiểm tra điều kiện ràng buộc (bài toán có điều kiện): Dùng phương pháp thế hoặc Lagrange.
  • Second derivative test: Sử dụngf′′(xc)>0f''(x_c)>0hoặcf′′(xc)<0f''(x_c)<0 để xác định cực tiểu hoặc cực đại.

    • 2. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

    Để ôn thi hiệu quả, học sinh cần ghi nhớ các công thức sau:

  • Điểm tới hạn:f′(xc)=0f'(x_c)=0hoặcf′(x)f'(x)không xác định.
  • Test cấp 1 (First derivative test): Nếuf′(x)f'(x) đổi từ dương sang âm tạixcx_cthì hàm có cực đại; đổi từ âm sang dương thì có cực tiểu.
  • Test cấp 2 (Second derivative test): Nếuf′(xc)=0f'(x_c)=0và f′′(xc)>0f''(x_c)>0thì ffcó cực tiểu tạixcx_c; nếuf′′(xc)<0f''(x_c)<0thì có cực đại.
  • Xét giá trị tại biên: với khoảng đóng[a,b][a,b], GTLN, GTNN có thể xảy ra tạixcx_choặcx=a,bx=a,b.
  • Phương pháp Lagrange (bài có ràng buộc): Giải hệ
    {<br><br>ablaf(x,y)=λ <br>ablag(x,y)<br>g(x,y)=0<br>\begin{cases}<br><br>abla f(x,y)=\lambda\,<br>abla g(x,y)\\<br>g(x,y)=0<br>\\\end{cases}
    để tìm cực trị có điều kiện.

    • 3. Phân loại các dạng bài tập thường gặp

  • Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng đóng[a,b][a,b].
  • Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN trên
    mathbbR\\mathbb{R}
    hoặc khoảng mở, không có biên.
  • Dạng 3: Hàm số chứa tham số, yêu cầu tìm tham số để hàm có cực trị thoả điều kiện.
  • Dạng 4: Bài toán thực tế (tối ưu hóa diện tích, thể tích, chi phí, lợi nhuận).
  • Dạng 5: Cực trị có điều kiện (ứng dụng Lagrange, thế trực tiếp khi ràng buộc tuyến tính đơn giản).

    • 4. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

    – Dạng 1 và 2:

  • Bước 1: Xác định miền xác định.
  • Bước 2: Tínhf′(x)f'(x), xác định điểm tới hạn.
  • Bước 3: Kiểm tra dấuf′(x)f'(x)hoặc dùngf′′(x)f''(x).
  • Bước 4: Tínhfftại các điểm tới hạn và biên (nếu có), so sánh giá trị.

    • – Dạng 3 (tham số):

    • Thế điều kiện cực trị f′(x)=0f'(x)=0 để tìmx(m)x(m)rồi nhập lại hàm, xét dấu hoặc kiểm traf′′(x)f''(x).

    – Dạng 4 (thực tế):

    • Bước 1: Lập biểu thức hàm cần tối ưu (thường là diện tích, thể tích…). Bước 2: Xác định biến quyết định và miền. Bước 3: Áp dụng dạng 1 hoặc 2.

    – Dạng 5 (có điều kiện):

    • Sử dụng phương pháp Lagrange hoặc thế trực tiếp khiy=g(x)y=g(x).

    5. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

    Để nắm vững, hãy cùng phân tích các đề thi gần đây.

    • Bài tập 1 (Đề thi THPT Quốc gia 2022): Tìm GTLN, GTNN củaf(x)=x3−3x2+1f(x)=x^3-3x^2+1trên[0,3][0,3].

    Lời giải:

  • Miền xác định:[0,3][0,3].
  • Tính đạo hàm:f′(x)=3x2−6x=3x(x−2).f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).Giảif′(x)=0f'(x)=0→x=0x=0,x=2x=2.
  • Xét biên và điểm tới hạn:f(0)=1f(0)=1,f(2)=23−3⋅22+1=−3f(2)=2^3-3 \cdot 2^2+1=-3,f(3)=27−27+1=1f(3)=27-27+1=1.
  • So sánh: GTLN=1=1(tạix=0,3x=0,3), GTNN=−3=-3(tạix=2x=2).
  • Bài tập 2 (Đề thi thử Đại học): Cho hàm f(x)=x4−x2f(x)=x\sqrt{4-x^2}trên[0,2][0,2]. Tìm GTLN.

    • Lời giải:

  • Miền xác định:0≤x≤20\le x\le 2.
  • Viếtf(x)=x(4−x2)1/2.f(x)=x(4-x^2)^{1/2}.Tính đạo hàm bằng quy tắc nhân và chuỗi:
  • f′(x)=(4−x2)1/2+x⋅12(4−x2)−1/2(−2x)=4−2x24−x2.f'(x)=(4-x^2)^{1/2}+x \cdot \frac12(4-x^2)^{-1/2}(-2x)=\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}.Giảif′(x)=0f'(x)=0→4−2x2=04-2x^2=0→x=2x=\sqrt{2}.
  • Tính giá trị: f(0)=0f(0)=0, f(2)=0f(2)=0, f(2)=2⋅2=2f(\sqrt{2})=\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}=2→ GTLN=2=2.
  • Bài tập 3 (Tham số): Chof(x)=x3−3mx2+6xf(x)=x^3-3mx^2+6xvớimmtham số thực. Tìm giá trị mmđểffcó hai điểm cực trị cùng dấu.

    • Lời giải:

  • Tính f′(x)=3x2−6mx+6f'(x)=3x^2-6mx+6. Giải f′(x)=0f'(x)=0→x=6m±36m2−726=m±m2−2x=\frac{6m \pm \sqrt{36m^2-72}}{6}=m \pm \sqrt{m^2-2}.
  • Muốn hai cực trị thực và cùng dấu, cầnm2−2>0m^2-2>0và tích(x1)(x2)>0(x_1)(x_2)>0.
  • Ta có x1x2=ca=63=2>0x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{6}{3}=2>0luôn, chỉ cầnm2>2m^2>2.
  • Vậy m<−2m< -\sqrt{2}hoặcm>2m>\sqrt{2}.

    • 6. Các lỗi phổ biến trong kỳ thi

  • Quên kiểm tra miền xác định hoặc bỏ xét biên.
  • Sai phép tính đạo hàm, đặc biệt hàm ẩn chứa căn.
  • Nhầm lẫn giữa test cấp 1 và cấp 2.
  • Không so sánh đúng giá trị tại các điểm để kết luận GTLN, GTNN.

    • 7. Kế hoạch ôn tập theo thời gian

  • 2 tuần trước thi: Ôn lại lý thuyết, hệ thống công thức, làm các bài cơ bản.
  • 1 tuần trước thi: Làm đề thi thử có thời gian, ưu tiên dạng bài xuất hiện thường xuyên.
  • 3 ngày trước thi: Ôn nhanh công thức, xem lại lỗi sai, ghi chú mẹo làm bài.

    • 8. Mẹo làm bài nhanh và chính xác

  • Luôn xác định miền xác định trước khi tính đạo hàm.
  • Sử dụng dấu ngoặc rõ ràng khi biểu diễn hàm chứa căn.
  • Vẽ đồ thị sơ bộ giúp hình dung đồng biến, nghịch biến.
  • Ghi chú nhanh các bước: "Miền – Đạo hàm – Biến thiên – So sánh".

    • Kết luận

    Việc làm chủ nội dung giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không chỉ giúp bạn tự tin khi bước vào phòng thi mà còn rèn luyện tư duy logic, kĩ năng giải toán thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên, tự kiểm tra lỗi sai, và tuân thủ kế hoạch ôn tập. Chúc các bạn đạt điểm cao trong kỳ thi THPT Quốc gia!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".