Hướng dẫn ôn thi Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 12 – Lý thuyết, mẹo và bài tập luyện thi miễn phí

1. Giới thiệu về tầm quan trọng trong thi cử

Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là một trong những chủ đề trọng tâm trong đề thi Toán lớp 12. Dạng bài này xuất hiện ở cả đề thi học kỳ, đề thi thử và đề thi THPT Quốc gia với tỷ lệ khoảng 10-25% tổng số điểm. Độ khó thường từ cơ bản tới nâng cao, thích hợp cho mọi đối tượng học sinh. Đừng bỏ lỡ kho luyện thi miễn phí với 42.226+ đề thi và bài tập đa dạng giúp bạn tự tin chinh phục mọi mức độ câu hỏi.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1. Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $y = f(x)$trên tập$D$là các giá trị $M, m$thỏa mãn
  
  
  $$\begin{aligned} & f(x) \leq M, \forall x \in D;\quad \exists x_0 \in D: f(x_0) = M\quad & \text{(GTNL)}\\ & f(x) \geq m, \forall x \in D;\quad \exists x_1 \in D: f(x_1) = m\quad & \text{(GTNN)}$$
  \\\end{aligned}
• Các định lý:
  - Nếu$f(x)$liên tục trên$[a, b]$thì tồn tại GTLN và GTNN trên$[a, b]$(định lý Weierstrass).
  - GTLN, GTNN nằm tại các điểm cực trị hoặc tại các biên của miền xác định.
• Điều kiện áp dụng: Phải xác định đúng miền xác định ($D$), kiểm tra tính liên tục của hàm số trên miền cần xét.

2.2. Công thức và quy tắc

• Tìm GTLN, GTNN của$y = f(x)$trên$[a, b]$:
  
  1. Tính$f'(x)$và giải$f'(x) = 0$tìm các điểm$x_k$trong$(a, b)$.
  2. Tính$f(a)$,$f(b)$và $f(x_k)$.
  3. So sánh các giá trị vừa tìm, chọn lớn nhất là GTLN, nhỏ nhất là GTNN.
• Cách ghi nhớ công thức: Liên tưởng tới "biên - cực trị - so sánh".
• Điều kiện sử dụng: Chỉ áp dụng nếu$f(x)$liên tục trên$[a, b]$, đặc biệt chú ý điểm không xác định.
• Biến thể: Đối với các miền bị chặn bởi bất đẳng thức hoặc điều kiện, cần xác lập lại miền xác định phù hợp.

3. Phân loại dạng bài thi

3.1. Dạng bài cơ bản (30-40% đề thi)

• Đặc điểm: Hàm số liên tục trên đoạn, công thức đơn giản (bậc nhất, bậc hai, bậc ba, hoặc phân thức cơ bản).
• Phương pháp giải: Lập bảng biến thiên, tính đạo hàm, tìm cực trị, xét giá trị tại biên.
• Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của$f(x) = x^2 - 2x + 3$trên$[0, 2]$.
  - Giải:$f'(x) = 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$. Chỉ cần xét$x=0, 1, 2$.
  $\Rightarrow f(0) = 3; f(1) = 2; f(2) = 3$.
  Kết quả: GTLN = 3, GTNN = 2.

3.2. Dạng bài trung bình (40-50% đề thi)

• Đặc điểm: Hàm số có chứa tham số, tham số hóa miền xác định, hoặc giới hạn bởi điều kiện ràng buộc.
• Phương pháp: Tìm miền xác định, tính toán đạo hàm, so sánh giá trị tại các nghiệm đặc biệt cùng biên.
• Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của$f(x)= \frac{2x+1}{x+2}$trên$[0,3]$.
  -$f'(x)= \frac{2(x+2)-(2x+1)}{(x+2)^2}= \frac{3}{(x+2)^2}>0$nên hàm tăng trên đoạn.
  -$f(0)=\frac{1}{2}, f(3)=\frac{7}{5}$. Vậy GTNN =$\frac{1}{2}$, GTLN =$\frac{7}{5}$.

3.3. Dạng bài nâng cao (10-20% đề thi)

• Đặc điểm: Hàm có chứa đạo hàm cao cấp, ràng buộc tham số, nhiều điều kiện xác định hoặc phải vận dụng bất đẳng thức.
• Kỹ thuật: Kết hợp khảo sát đạo hàm, bất đẳng thức Cauchy, AM-GM, hoặc xét cực trị có điều kiện.
• Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của$f(x)= x^2 + \frac{1}{x^2}$trên$[1,2]$.
  -$f'(x) = 2x - 2x^{-3} = 0 \Rightarrow x^4 = 1 \Rightarrow x=1$(thuộc đoạn).
  -$f(1)=2,\f(2)=4.25$.
  Kết luận: GTNN = 2 tại$x=1$, GTLN = 4.25 tại$x=2$.

4. Chiến lược làm bài thi

4.1. Quản lý thời gian

• Phân bổ thời gian:
  - Dạng cơ bản: 4-6 phút/câu
  - Dạng trung bình: 6-8 phút/câu
  - Dạng nâng cao: 10-12 phút/câu
• Làm theo thứ tự: Từ dễ đến khó, ưu tiên điểm chắc, bỏ qua câu quá khó rồi quay lại sau.

4.2. Kỹ thuật làm bài

• Đọc đề cẩn thận, xác định rõ miền xác định và loại hàm số.
• Lập dàn ý giải, tính giá trị tại các điểm cần thiết trước khi kết luận.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay trực tiếp giá trị vào hàm số.

4.3. Tâm lý thi cử

• Bình tĩnh từng bước, tập trung vào phần chắc chắn trước.
• Nếu không nhớ công thức, hãy vận dụng các kiến thức cơ bản như đạo hàm, bảng biến thiên.
• Tự tin nhờ luyện tập nhiều lần với bộ đề chuẩn.

5. Bài tập mẫu từ đề thi

5.1. Đề thi học kỳ

Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của$f(x) = 2x^2 - 4x + 5$trên đoạn$[0;3]$.(Lời giải:$f'(x)=4x-4=0 \Rightarrow x=1$. Tính$f(0)=5, f(1)=3, f(3)=11$. GTLN = 11 tại$x=3$, GTNN = 3 tại$x=1$. Ý đồ ra đề: kiểm tra kỹ năng đạo hàm, xét giá trị biên và cực trị.)

Bài 2: Tìm GTLN, GTNN của$f(x) = \frac{x-1}{x+1}$trên$[2;5]$.(Giải:$f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}>0$nên hàm tăng, GTNN tại$x=2$là $\frac{1}{3}$, GTLN tại$x=5$là $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.)

Tiêu chí chấm điểm: Đúng miền xác định (0.25đ), tính đạo hàm đúng (0.25đ), xác định đúng GTLN/GTNN (0.5đ).

5.2. Đề thi tuyển sinh

Bài 3 (THPT Quốc gia 2020): Tìm GTLN của$f(x) = x^3 - 3x + 1$trên$[0;2]$.(Lời giải:$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x=1$.$f(0)=1, f(1) = -1, f(2) = 3$. GTLN = 3 tại$x=2$, GTNN = -1 tại$x=1$. Lưu ý: cần kiểm tra kỹ cả giá trị tại biên và nghiệm đạo hàm.)

So sánh mức độ: Đề tuyển sinh thường yêu cầu kết hợp nhiều kỹ năng tính toán và tư duy về miền xác định, dùng nhiều biến thể để đánh giá năng lực.

6. Lỗi thường gặp và cách tránh

6.1. Lỗi về kiến thức

• Nhầm lẫn công thức đạo hàm, bỏ sót nghiệm cực trị.
• Áp dụng sai miền xác định hoặc quên xét giá trị tại biên.
• Thiếu bước so sánh các giá trị tại các điểm vừa tìm.

6.2. Lỗi về kỹ năng

• Tính toán ẩu, sai số học nhỏ dẫn đến kết quả sai.
• Đọc đề không kỹ, nhầm miền xác định hoặc điều kiện phụ.
• Trình bày bỏ sót bước, thiếu kết luận rõ ràng.

6.3. Cách khắc phục

• Tự lập checklist: Đã tính đạo hàm? Đã xét giá trị tại biên? Đã so sánh mọi giá trị?
• Thường xuyên luyện tập đề thực tế, tự kiểm tra lại đáp án và phương pháp.

7. Kế hoạch ôn tập chi tiết

7.1. Giai đoạn 2 tuần trước thi

• Ôn tập lại toàn bộ lý thuyết, công thức về GTLN, GTNN, các định lý liên quan.
• Làm đề tổng hợp dạng cơ bản – trung bình để phát hiện điểm yếu.

7.2. Giai đoạn 1 tuần trước thi

• Tập trung luyện các dạng bài dễ mắc sai sót, bài nâng cao nếu muốn lấy điểm tối đa.
• Làm đề thi thử trong thời gian hạn chế để rèn tốc độ và áp lực thực tế.
• Ôn kỹ lại công thức, ghi chú những lỗi thường gặp.

7.3. Giai đoạn 3 ngày trước thi

• Chỉ ôn nhẹ nhàng, làm các bài tập cơ bản để giữ cảm giác giải toán tốt.
• Ngủ đủ giấc, chuẩn bị tinh thần và sức khỏe tốt cho ngày thi.

8. Mẹo làm bài nhanh và chính xác

• Rèn kỹ năng tính nhẩm với các số tròn, sử dụng bất đẳng thức để ước lượng nhanh.
• Thay giá trị đặc biệt vào đề để ước lượng nhanh (ví dụ,$x = 0$,$x = 1$).
• Sử dụng máy tính cầm tay theo đúng quy định để kiểm tra lại kết quả tính toán.
• Trình bày ngắn gọn, chỉ giữ những bước chính và kết luận rõ ràng.

9. Luyện thi miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập kho 42.226+ đề thi và bài tập Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số miễn phí, không cần đăng ký. Theo dõi tiến độ, tự kiểm tra kết quả và cải thiện điểm số mỗi ngày.