Ôn thi Chương II: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian lớp 12

Chương II: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức này giúp học sinh giải quyết các bài toán hình học không gian, tính toán góc, khoảng cách và vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng và mặt phẳng.

1. Tầm quan trọng của chủ đề trong các kỳ thi

- Chương này chiếm tỷ lệ lớn trong các đề thi thử và THPT Quốc gia, thường xuất hiện 2–3 câu hỏi về vectơ không gian.

- Giúp phát triển kỹ năng hình dung không gian, kết hợp đại số và hình học.

- Các kiến thức liên quan thường lặp lại trong phần Môn Toán và các bài thi tuyển sinh khối A, A1.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

- Định nghĩa vectơ trong không gian, vectơ ngược, vectơ không.

- Phép cộng, phép nhân vectơ với số thực.

- Hệ tọa độ Oxyz: tọa độ điểm M$(x,y,z)$, vectơ tọa độ $(a_x,a_y,a_z)$.

- Tích vô hướng$\vec{a} \cdot \vec{b}$và tích có hướng$\vec{a} \times \vec{b}$.

- Điều kiện song song, vuông góc, đồng phẳng.

- Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng.

- Phương trình tổng quát và tham số của mặt phẳng.

3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

- Độ dài vectơ: $|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$.

- Tích vô hướng:$\vec{a} \cdot \vec{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos \theta$.

- Tích có hướng:$\vec{a} \times \vec{b}=(a_yb_z-a_zb_y,\;a_zb_x-a_xb_z,\;a_xb_y-a_yb_x).$

- Góc giữa hai vectơ:$\cos \theta=\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}$.

- Điều kiện đồng phẳng:$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ đồng phẳng nếu$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})=0.$

- Phương trình đường thẳng qua$A(x_0,y_0,z_0)$, vectơ chỉ phương$\vec{u}=(u_x,u_y,u_z)$:$\frac{x-x_0}{u_x}=\frac{y-y_0}{u_y}=\frac{z-z_0}{u_z}$(chính tắc) hoặc

- Phương trình mặt phẳng:$ax+by+cz+d=0$hoặc tham số với hai vectơ chỉ phương.

- Khoảng cách điểm $M(x_0,y_0,z_0)$ đến mặt phẳng$ax+by+cz+d=0$: $d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:$d=\frac{|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \overrightarrow{A_1A_2}|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}.$

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp

- Tính độ dài, góc, tích vô hướng, tích có hướng.

- Xác định vị trí tương đối: song song, vuông góc, đồng phẳng.

- Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng.

- Tính khoảng cách điểm–đường thẳng, điểm–mặt phẳng, giữa hai đường thẳng.

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

- Khi tính góc: Luôn viết$\cos \theta=\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}$, chú ý giá trị tuyệt đối và góc$0\le\theta\le\pi$.

- Xác định vị trí tương đối: sử dụng$\vec{a} \times \vec{b}=\vec{0}$với song song,$\vec{a} \cdot \vec{b}=0$với vuông góc.

- Viết phương trình đường thẳng/mặt phẳng: chọn điểm và vectơ phù hợp, kiểm tra tham số không chia cho 0.

- Khoảng cách: ghi công thức chuẩn, xác định chính xác vectơ cần đưa vào công thức.

6. Bài tập mẫu từ các đề thi trước với lời giải chi tiết

Ví dụ 1. Cho điểm$A(1,2,3)$, đường thẳng$d:\;\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-3}{-1}$. Tính khoảng cách từ $A$ đến$d$.

Giải. Vectơ chỉ phương của $d$là $\vec{u}=(1,2,-1)$. Chọn $B(2,-1,3) \in d$, ta có $\overrightarrow{BA}=(1-2,2+1,3-3)=(-1,3,0)$. Khoảng cách: $d=\frac{|\overrightarrow{BA} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}=\frac{|(-1,3,0) \times (1,2,-1)|}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}. Tính tích có hướng:$(-1,3,0) \times (1,2,-1)=(3 \cdot (-1)-0 \cdot 2,0 \cdot 1-(-1) \cdot (-1),-1 \cdot 2-3 \cdot 1)=(-3,-1,-5).$Do đó$|(-3,-1,-5)|=\sqrt{9+1+25}=\sqrt{35}$,$|\vec{u}|=\sqrt6$, kết quả$d=\frac{\sqrt{35}}{\sqrt6}.$

Ví dụ 2. Cho ba vectơ $\vec{a}=(1,0,2)$,$\vec{b}=(0,1,1)$,$\vec{c}=(2,1,3)$. Kiểm tra xem$\vec{c}$có đồng phẳng với$\vec{a},\vec{b}$không.

Giải. Tính$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$. Ta có $\vec{b} \times \vec{c}=(1 \cdot 3-1 \cdot 1,1 \cdot 2-0 \cdot 3,0 \cdot 1-1 \cdot 2)=(2,2,-2).$Sau đó $\vec{a} \cdot (2,2,-2)=1 \cdot 2+0 \cdot 2+2 \cdot (-2)=2-4=-2<br>e0.$Vậy ba vectơ không đồng phẳng.

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải

- Nhầm lẫn dấu trong tích vô hướng, bỏ qua dấu âm.

- Quên đưa vectơ khởi điểm thích hợp khi tính khoảng cách.

- Viết sai tham số, chia cho 0 trong phương trình chính tắc.

- Không kiểm tra điều kiện áp dụng công thức.

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian

Hai tuần trước thi:

- Ngày 1–3: Ôn lí thuyết vectơ và hệ tọa độ, làm bài cơ bản.

- Ngày 4–7: Tập trung công thức tính góc, khoảng cách, phương trình đường thẳng.

- Ngày 8–10: Làm đề thi thử, soát lỗi.

- Ngày 11–14: Ôn lại dạng khó, rà soát công thức.

Một tuần trước thi:

- Ngày 1–2: Làm 2 đề chuyên về vectơ không gian.

- Ngày 3–5: Xem lại bài sai, củng cố kiến thức.

- Ngày 6–7: Ôn nhanh công thức, nghỉ ngơi hợp lý.

Ba ngày trước thi:

- Ngày -3: Ôn công thức và cách ứng dụng.

- Ngày -2: Làm đề thi chính thức, bấm giờ.

- Ngày -1: Ôn nhẹ, nghỉ ngơi, chuẩn bị tâm lý.

9. Các mẹo làm bài nhanh và chính xác

- Luôn viết rõ vectơ và điểm khởi đầu, kiểm tra dấu trước khi tính.

- Vẽ hình minh họa để dễ hình dung.

- Ghi công thức lên nháp, tránh ghi nhầm khi bấm máy tính.

- Chú ý đơn vị và giá trị tuyệt đối.

- Phân bổ thời gian: 5–7 phút cho phần vectơ không gian trong đề thi THPT.

Chúc các em ôn thi hiệu quả và đạt điểm cao!