Phân tích đối xứng đồ thị: Toàn diện về khái niệm và phương pháp cho học sinh lớp 12 1. Giới thiệu về phân tích đối xứng đồ thị Phân tích đối xứng đồ thị là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, giúp học sinh hiểu được bản chất hình học của các hàm số. Việc xác định đối xứng giúp chúng ta rút ngắn thao tác vẽ đồ thị, nhận diện hàm số chẵn, lẻ, hay các tính chất đặc biệt của hàm số, đồng thời hỗ trợ phân tích và giải các bài toán liên quan đến cực trị, nghiệm, hay tích phân.
2. Định nghĩa chính xác về đối xứng đồ thị Đồ thị của một hàm số có thể đối xứng qua trục tung (O y Oy O y O x Ox O x O O O
Đối xứng qua trục tung: Đồ thị hàm số y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) x x x f ( − x ) = f ( x ) f(-x) = f(x) f ( − x ) = f ( x ) Đối xứng qua gốc tọa độ: Đồ thị hàm số y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) x x x f ( − x ) = − f ( x ) f(-x) = -f(x) f ( − x ) = − f ( x ) Ngoài ra, đồ thị có thể đối xứng qua các trục hoặc điểm khác, nhưng chủ yếu nhất và hay gặp nhất ở chương trình lớp 12 là đối xứng qua trục tung (hàm chẵn) và đối xứng qua gốc tọa độ (hàm lẻ).
3. Quy trình phân tích đối xứng đồ thị với ví dụ minh họa Bước 1: Xét biểu thứcf ( − x ) f(-x) f ( − x ) Thay− x -x − x f ( x ) f(x) f ( x ) f ( − x ) = f ( x ) f(-x) = f(x) f ( − x ) = f ( x ) f ( − x ) = − f ( x ) f(-x) = -f(x) f ( − x ) = − f ( x )
Bước 2: So sánhf ( − x ) f(-x) f ( − x ) f ( x ) f(x) f ( x ) − f ( x ) -f(x) − f ( x ) Tìm xem chúng có quan hệ đặc biệt nào không. Nếu không rơi vào 2 trường hợp này, đồ thị không đối xứng trục tung/gốc tọa độ mà có thể có đối xứng đặc biệt khác.
Bước 3: Lưu ý tập xác định Chỉ xétx x x − x -x − x
Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xét hàm số f ( x ) = x 4 − 2 x 2 + 7 f(x) = x^4 - 2x^2 + 7 f ( x ) = x 4 − 2 x 2 + 7 R ℝ R
Ta có:
' in math mode at position 1:
$' in math mode at position 1:$
̲f(-x) = (-x)^4 …" style="color:#cc0000">$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 7 = x^4 - 2x^2 + 7 = f(x)
$$$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 7 = x^4 - 2x^2 + 7 = f(x)$$
g ( x ) = x 3 − x g(x) = x^3 - x g ( x ) = x 3 − x trên
R ℝ R .
Ta có:
< / d i v > < p > K e ^ ˊ t l u ậ n : H a ˋ m s o ^ ˊ c h a ˘ ~ n , đ o ^ ˋ t h ịđ o ^ ˊ i x ứ n g q u a t r ụ c t u n g . < / p > < p > V ı ˊ d ụ 2 : X e ˊ t h a ˋ m s o ^ ˊ < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m i > g < / m i > < m o s t r e t c h y = " f a l s e " > ( < / m o > < m i > x < / m i > < m o s t r e t c h y = " f a l s e " > ) < / m o > < m o > = < / m o > < m s u p > < m i > x < / m i > < m n > 3 < / m n > < / m s u p > < m o > − < / m o > < m i > x < / m i > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > g ( x ) = x 3 − x < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 1 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.25 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.03588 e m ; " > g < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o p e n " > ( < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m c l o s e " > ) < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m r e l " > = < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8974 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s u p s u b " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − r " > < s p a n c l a s s = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; m a r g i n − r i g h t : 0.05 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " s i z i n g r e s e t − s i z e 6 s i z e 3 m t i g h t " > < s p a n c l a s s = " m o r d m t i g h t " > 3 < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m b i n " > − < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > t r e ^ n < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m i m a t h v a r i a n t = " n o r m a l " > R < / m i > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > R < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6889 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d a m s r m " > R < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > . < ! − − L A T E X P R O C E S S E D 1 755545035061 − − > < / p > < p > T a c o ˊ : < / p > < d i v c l a s s = " m a t h − b l o c k m y − 4 t e x t − c e n t e r " > < d i v c l a s s = " m a t h − d i s p l a y " r o l e = " i m g " a r i a − l a b e l = " M a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n : </div><p>Kết luận: Hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung.</p><p>Ví dụ 2: Xét hàm số <span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>−</mo><mi>x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">g(x) = x^3 - x</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8974em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">x</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">3</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">x</span></span></span></span></span>trên<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">ℝ</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6889em;"></span><span class="mord amsrm">R</span></span></span></span></span>.<!--LATEX_PROCESSED_1755545035061--></p><p>Ta có:</p><div class="math-block my-4 text-center"><div class="math-display" role="img" aria-label="Mathematical expression: < / d i v >< p > K e ^ ˊ tl u ậ n : H a ˋ m s o ^ ˊ c h a ˘ ~ n , đ o ^ ˋ t h ị đ o ^ ˊ i x ứ n g q u a t r ụ c t u n g . < / p >< p > V ı ˊ d ụ2 : X e ˊ t h a ˋ m s o ^ ˊ < s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< mi > g < / mi >< m os t re t c h y = " f a l se " > ( < / m o >< mi > x < / mi >< m os t re t c h y = " f a l se " > ) < / m o >< m o >=< / m o >< m s u p >< mi > x < / mi >< mn > 3 < / mn >< / m s u p >< m o > − < / m o >< mi > x < / mi >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > g ( x ) = x 3 − x < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 1 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.25 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.03588 e m ; " > g < / s p an >< s p an c l a ss = " m o p e n " > ( < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< s p an c l a ss = " m c l ose " > ) < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m re l " >=< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8974 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< s p an c l a ss = " m s u p s u b " >< s p an c l a ss = " v l i s t − t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " >< s p an s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; ma r g in − r i g h t : 0.05 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " s i z in g rese t − s i ze 6 s i ze 3 m t i g h t " >< s p an c l a ss = " m or d m t i g h t " > 3 < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " mbin " > − < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > t r e ^ n < s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< mima t h v a r ian t = " n or ma l " > R < / mi >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > R < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6889 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d am sr m " > R < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > . < ! − − L A TE X P ROCESSE D 1 755545035061 − − >< / p >< p > T a c o ˊ :< / p >< d i v c l a ss = " ma t h − b l oc km y − 4 t e x t − ce n t er " >< d i v c l a ss = " ma t h − d i s pl a y " ro l e = " im g " a r ia − l ab e l = " M a t h e ma t i c a l e x p ress i o n : $ Kết luận: Hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung.
Ví dụ 2: Xét hàm số g ( x ) = x 3 − x g(x) = x^3 - x g ( x ) = x 3 − x R ℝ R
Ta có:
' in math mode at position 1:
$' in math mode at position 1:$
̲g(-x) = (-x)^3 …" style="color:#cc0000">$g(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -g(x)
$$$g(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -g(x)$$
h ( x ) = x 2 + 3 x + 1 h(x) = x^2 + 3x + 1 h ( x ) = x 2 + 3 x + 1 . Ta có:
< / d i v > < p > K e ^ ˊ t l u ậ n : H a ˋ m s o ^ ˊ l ẻ , đ o ^ ˋ t h ịđ o ^ ˊ i x ứ n g q u a g o ^ ˊ c t ọ a độ . < / p > < p > V ı ˊ d ụ 3 : X e ˊ t h a ˋ m s o ^ ˊ < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m i > h < / m i > < m o s t r e t c h y = " f a l s e " > ( < / m o > < m i > x < / m i > < m o s t r e t c h y = " f a l s e " > ) < / m o > < m o > = < / m o > < m s u p > < m i > x < / m i > < m n > 2 < / m n > < / m s u p > < m o > + < / m o > < m n > 3 < / m n > < m i > x < / m i > < m o > + < / m o > < m n > 1 < / m n > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > h ( x ) = x 2 + 3 x + 1 < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 1 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.25 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > h < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o p e n " > ( < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m c l o s e " > ) < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m r e l " > = < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8974 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s u p s u b " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − r " > < s p a n c l a s s = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; m a r g i n − r i g h t : 0.05 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " s i z i n g r e s e t − s i z e 6 s i z e 3 m t i g h t " > < s p a n c l a s s = " m o r d m t i g h t " > 2 < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m b i n " > + < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.7278 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 3 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m b i n " > + < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6444 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 1 < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > . T a c o ˊ : < ! − − L A T E X P R O C E S S E D 1 755545035062 − − > < / p > < d i v c l a s s = " m a t h − b l o c k m y − 4 t e x t − c e n t e r " > < d i v c l a s s = " m a t h − d i s p l a y " r o l e = " i m g " a r i a − l a b e l = " M a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n : </div><p>Kết luận: Hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.</p><p>Ví dụ 3: Xét hàm số <span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(x) = x^2 + 3x + 1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8974em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">x</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">3</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span></span>. Ta có:<!--LATEX_PROCESSED_1755545035062--></p><div class="math-block my-4 text-center"><div class="math-display" role="img" aria-label="Mathematical expression: < / d i v >< p > K e ^ ˊ tl u ậ n : H a ˋ m s o ^ ˊ l ẻ , đ o ^ ˋ t h ị đ o ^ ˊ i x ứ n g q u a g o ^ ˊ c t ọ a đ ộ. < / p >< p > V ı ˊ d ụ3 : X e ˊ t h a ˋ m s o ^ ˊ < s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< mi > h < / mi >< m os t re t c h y = " f a l se " > ( < / m o >< mi > x < / mi >< m os t re t c h y = " f a l se " > ) < / m o >< m o >=< / m o >< m s u p >< mi > x < / mi >< mn > 2 < / mn >< / m s u p >< m o > + < / m o >< mn > 3 < / mn >< mi > x < / mi >< m o > + < / m o >< mn > 1 < / mn >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > h ( x ) = x 2 + 3 x + 1 < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 1 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.25 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > h < / s p an >< s p an c l a ss = " m o p e n " > ( < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< s p an c l a ss = " m c l ose " > ) < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m re l " >=< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8974 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< s p an c l a ss = " m s u p s u b " >< s p an c l a ss = " v l i s t − t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " >< s p an s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; ma r g in − r i g h t : 0.05 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " s i z in g rese t − s i ze 6 s i ze 3 m t i g h t " >< s p an c l a ss = " m or d m t i g h t " > 2 < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " mbin " > + < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.7278 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 3 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " mbin " > + < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6444 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 1 < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > . T a c o ˊ :< ! − − L A TE X P ROCESSE D 1 755545035062 − − >< / p >< d i v c l a ss = " ma t h − b l oc km y − 4 t e x t − ce n t er " >< d i v c l a ss = " ma t h − d i s pl a y " ro l e = " im g " a r ia − l ab e l = " M a t h e ma t i c a l e x p ress i o n : $ Kết luận: Hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Ví dụ 3: Xét hàm số h ( x ) = x 2 + 3 x + 1 h(x) = x^2 + 3x + 1 h ( x ) = x 2 + 3 x + 1
' in math mode at position 1:
$' in math mode at position 1:$
̲h(-x) = (-x)^2 …" style="color:#cc0000">$h(-x) = (-x)^2 + 3(-x) + 1 = x^2 - 3x + 1
$$$h(-x) = (-x)^2 + 3(-x) + 1 = x^2 - 3x + 1$$
h ( − x ) ≠ h ( x ) h(-x) \neq h(x) h ( − x ) = h ( x ) ,
h ( − x ) ≠ − h ( x ) h(-x) \neq -h(x) h ( − x ) = − h ( x ) , nên đồ thị không đối xứng qua trục tung hoặc qua gốc tọa độ.
4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng Chỉ xét đối xứng với các giá trị x x x − x -x − x Có thể gặp đối xứng qua đường thẳngx = a x = a x = a O ( a , b ) O(a, b) O ( a , b ) x − a x - a x − a x + a x + a x + a Đối với hàm phân thức, cần chú ý mẫu số không được phép bằng 0. 5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác Phân tích đối xứng có liên hệ chặt chẽ với hàm số chẵn, lẻ; bất đẳng thức có dấu tuyệt đối; tích phân trên các miền đối xứng; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cho các hàm có tính chất đối xứng... Đồng thời, đây còn là công cụ hữu hiệu khi vẽ đồ thị hoặc biến đổi hình học cơ bản.
6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết Bài tập 1 Xét tính đối xứng của hàm số y = x 2 x 4 + 1 y = \frac{x^2}{x^4 + 1} y = x 4 + 1 x 2 R \mathbb{R} R
undefined
$
h ( − x ) ≠ h ( x ) h(-x) \neq h(x) h ( − x ) = h ( x ) h ( − x ) ≠ − h ( x ) h(-x) \neq -h(x) h ( − x ) = − h ( x )
4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng Chỉ xét đối xứng với các giá trị x x x − x -x − x Có thể gặp đối xứng qua đường thẳngx = a x = a x = a O ( a , b ) O(a, b) O ( a , b ) x − a x - a x − a x + a x + a x + a Đối với hàm phân thức, cần chú ý mẫu số không được phép bằng 0. 5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác Phân tích đối xứng có liên hệ chặt chẽ với hàm số chẵn, lẻ; bất đẳng thức có dấu tuyệt đối; tích phân trên các miền đối xứng; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cho các hàm có tính chất đối xứng... Đồng thời, đây còn là công cụ hữu hiệu khi vẽ đồ thị hoặc biến đổi hình học cơ bản.
6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết Bài tập 1 Xét tính đối xứng của hàm số y = x 2 x 4 + 1 y = \frac{x^2}{x^4 + 1} y = x 4 + 1 x 2 R \mathbb{R} R
' in math mode at position 1:
$' in math mode at position 1:$
̲f(-x) = \frac{(…" style="color:#cc0000">$f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^4 + 1} = \frac{x^2}{x^4 + 1} = f(x)
$$$f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^4 + 1} = \frac{x^2}{x^4 + 1} = f(x)$$
f ( x ) = x x 2 − 1 f(x) = \frac{x}{x^2 - 1} f ( x ) = x 2 − 1 x .
Tập xác định:x 2 − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 1 x^2 - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 1 x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ± 1
undefined
$
Kết luận: Hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung.
Bài tập 2 Tìm tập xác định và xét đối xứng của hàm số f ( x ) = x x 2 − 1 f(x) = \frac{x}{x^2 - 1} f ( x ) = x 2 − 1 x
Tập xác định:x 2 − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 1 x^2 - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 1 x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ± 1
' in math mode at position 1:
$' in math mode at position 1:$
̲f(-x) = \frac{-…" style="color:#cc0000">$f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 - 1} = \frac{-x}{x^2 - 1} = -f(x)
$$$f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 - 1} = \frac{-x}{x^2 - 1} = -f(x)$$
x = ± 1 x = \pm 1 x = ± 1 ), đối xứng qua gốc tọa độ.
Bài tập 3 Xét hàmy = ( x − 2 ) 2 + 1 y = (x-2)^2 + 1 y = ( x − 2 ) 2 + 1
Ta có:f ( x ) = ( x − 2 ) 2 + 1 f(x) = (x-2)^2 + 1 f ( x ) = ( x − 2 ) 2 + 1 f ( 4 − x ) = ( 4 − x − 2 ) 2 + 1 = ( 2 − x ) 2 + 1 = ( x − 2 ) 2 + 1 = f ( x ) f(4-x) = (4-x-2)^2 + 1 = (2-x)^2 + 1 = (x-2)^2 + 1 = f(x) f ( 4 − x ) = ( 4 − x − 2 ) 2 + 1 = ( 2 − x ) 2 + 1 = ( x − 2 ) 2 + 1 = f ( x ) x = 2 x=2 x = 2
Bài tập 4 Chứng minh: Nếuf ( x ) f(x) f ( x ) ∫ − a a f ( x ) d x = 0 \displaystyle \int_{-a}^a f(x)dx = 0 ∫ − a a f ( x ) d x = 0
Thật vậy:
undefined
$
Kết luận: Hàm số lẻ (trừ x = ± 1 x = \pm 1 x = ± 1
Bài tập 3 Xét hàmy = ( x − 2 ) 2 + 1 y = (x-2)^2 + 1 y = ( x − 2 ) 2 + 1
Ta có:f ( x ) = ( x − 2 ) 2 + 1 f(x) = (x-2)^2 + 1 f ( x ) = ( x − 2 ) 2 + 1 f ( 4 − x ) = ( 4 − x − 2 ) 2 + 1 = ( 2 − x ) 2 + 1 = ( x − 2 ) 2 + 1 = f ( x ) f(4-x) = (4-x-2)^2 + 1 = (2-x)^2 + 1 = (x-2)^2 + 1 = f(x) f ( 4 − x ) = ( 4 − x − 2 ) 2 + 1 = ( 2 − x ) 2 + 1 = ( x − 2 ) 2 + 1 = f ( x ) x = 2 x=2 x = 2
Bài tập 4 Chứng minh: Nếuf ( x ) f(x) f ( x ) ∫ − a a f ( x ) d x = 0 \displaystyle \int_{-a}^a f(x)dx = 0 ∫ − a a f ( x ) d x = 0
Thật vậy:
v ı ˋ vì v ı ˋ $vì$
f(-x) = -f(x)" data-math-type="display">
' in math mode at position 1:
$' in math mode at position 1:$
̲\int_{-a}^{a} f…" style="color:#cc0000">undefined
$$$\int_{-a}^{a} f(x)dx = 0
v ı ˋ vì v ı ˋ $vì$
f(-x) = -f(x)$$
u = − x u = -x u = − x ,
d u = − d x du = -dx d u = − d x . Khi
x = − a x=-a x = − a ,
u = a u=a u = a ; khi
x = a x=a x = a ,
u = − a u=-a u = − a
< / d i v > < p > Đổ i b i e ^ ˊ n < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m i > u < / m i > < m o > = < / m o > < m o > − < / m o > < m i > x < / m i > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > u = − x < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > u < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m r e l " > = < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6667 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > − < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > , < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m i > d < / m i > < m i > u < / m i > < m o > = < / m o > < m o > − < / m o > < m i > d < / m i > < m i > x < / m i > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > d u = − d x < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6944 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > d < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > u < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m r e l " > = < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.7778 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > − < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > d < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > . K h i < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m i > x < / m i > < m o > = < / m o > < m o > − < / m o > < m i > a < / m i > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > x = − a < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m r e l " > = < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6667 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > − < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > a < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > , < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m i > u < / m i > < m o > = < / m o > < m i > a < / m i > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > u = a < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > u < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m r e l " > = < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > a < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > ; k h i < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m i > x < / m i > < m o > = < / m o > < m i > a < / m i > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > x = a < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m r e l " > = < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > a < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > , < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m i > u < / m i > < m o > = < / m o > < m o > − < / m o > < m i > a < / m i > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > u = − a < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > u < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m r e l " > = < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6667 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > − < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > a < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < ! − − L A T E X P R O C E S S E D 1 755545035071 − − > < / p > < d i v c l a s s = " m a t h − b l o c k m y − 4 t e x t − c e n t e r " > < d i v c l a s s = " m a t h − d i s p l a y " r o l e = " i m g " a r i a − l a b e l = " M a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n : </div><p>Đổi biến<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u = -x</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">−</span><span class="mord mathnormal">x</span></span></span></span></span>,<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mi>u</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">du = -dx</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7778em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">−</span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mord mathnormal">x</span></span></span></span></span>. Khi<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>a</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">x=-a</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">−</span><span class="mord mathnormal">a</span></span></span></span></span>,<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi><mo>=</mo><mi>a</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u=a</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span></span></span></span></span>; khi<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>a</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">x=a</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span></span></span></span></span>,<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>a</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u=-a</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">−</span><span class="mord mathnormal">a</span></span></span></span></span><!--LATEX_PROCESSED_1755545035071--></p><div class="math-block my-4 text-center"><div class="math-display" role="img" aria-label="Mathematical expression: < / d i v >< p > Đ ổ ibi e ^ ˊ n < s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< mi > u < / mi >< m o >=< / m o >< m o > − < / m o >< mi > x < / mi >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > u = − x < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > u < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m re l " >=< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6667 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > − < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > , < s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< mi > d < / mi >< mi > u < / mi >< m o >=< / m o >< m o > − < / m o >< mi > d < / mi >< mi > x < / mi >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > d u = − d x < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6944 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > d < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > u < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m re l " >=< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.7778 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > − < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > d < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > . K hi < s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< mi > x < / mi >< m o >=< / m o >< m o > − < / m o >< mi > a < / mi >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > x = − a < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m re l " >=< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6667 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > − < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > a < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > , < s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< mi > u < / mi >< m o >=< / m o >< mi > a < / mi >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > u = a < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > u < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m re l " >=< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > a < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > ; khi < s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< mi > x < / mi >< m o >=< / m o >< mi > a < / mi >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > x = a < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m re l " >=< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > a < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > , < s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< mi > u < / mi >< m o >=< / m o >< m o > − < / m o >< mi > a < / mi >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > u = − a < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > u < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m re l " >=< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6667 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > − < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > a < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< ! − − L A TE X P ROCESSE D 1 755545035071 − − >< / p >< d i v c l a ss = " ma t h − b l oc km y − 4 t e x t − ce n t er " >< d i v c l a ss = " ma t h − d i s pl a y " ro l e = " im g " a r ia − l ab e l = " M a t h e ma t i c a l e x p ress i o n : $ Đổi biếnu = − x u = -x u = − x d u = − d x du = -dx d u = − d x x = − a x=-a x = − a u = a u=a u = a x = a x=a x = a u = − a u=-a u = − a
' in math mode at position 1:
$' in math mode at position 1:$
̲\int_{-a}^a f(x…" style="color:#cc0000">$\int_{-a}^a f(x)dx = \int_{a}^{-a} f(-u)(-du) = \int_{-a}^{a} -f(u) du = -\int_{-a}^a f(x)dx \Rightarrow \int_{-a}^{a} f(x)dx = 0
$$$\int_{-a}^a f(x)dx = \int_{a}^{-a} f(-u)(-du) = \int_{-a}^{a} -f(u) du = -\int_{-a}^a f(x)dx \Rightarrow \int_{-a}^{a} f(x)dx = 0$$
$
7. Các lỗi thường gặp và cách tránh Không xét tập xác định đầy đủ, dẫn đến kết luận sai. Chỉ kiểm tra cho một vài giá trị x x x f ( − x ) f(-x) f ( − x ) Nhầm lẫn giữa đối xứng qua trục tung và đối xứng qua trục hoành/gốc tọa độ. Quên kiểm tra điều kiện của mẫu số với hàm phân thức. 8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ Đồ thị đối xứng qua trục tung vớif ( − x ) = f ( x ) f(-x) = f(x) f ( − x ) = f ( x ) f ( − x ) = − f ( x ) f(-x) = -f(x) f ( − x ) = − f ( x ) Xét đối xứng bằng cách thay− x -x − x Có thể mở rộng lên các dạng đối xứng đặc biệt (quax = a x=a x = a Tính đối xứng giúp đơn giản hóa vẽ đồ thị, tính toán tích phân, giải phương trình. Tác giả Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.
Phản hồi Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".
Bài viết được in từ Bạn Giỏi - https://bangioi.vn
18/8/2025
Bạn Giỏi
Theo dõi chúng tôi tại