Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm: Giải thích chi tiết...

1. Giới thiệu về Phương Sai của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm

Trong chương trình toán lớp 12, "Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm" là một khái niệm quan trọng thuộc chương Thống kê. Phương sai cho biết mức độ phân tán của dữ liệu quanh giá trị trung bình, giúp ta đánh giá sự đồng đều hoặc biến động của các số liệu được thu thập. Khi làm việc với số liệu lớn, đặc biệt là khi dữ liệu đã được phân nhóm (ghép nhóm thành các lớp), việc tính toán phương sai lại càng cần thiết và phổ biến trong thực tiễn, ví dụ như phân tích điểm thi, chiều cao học sinh, mức tiêu thụ điện năng,...

2. Định nghĩa chính xác về Phương Sai của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm

Giả sử một mẫu số liệu lớn đã được phân thành $k$ lớp (nhóm). Mỗi nhóm có tần số $n_i$ (số phần tử trong nhóm thứ $i$ ), trung điểm của nhóm là $x_i$ . Tổng số phần tử là $n = n_1 + n_2 +... + n_k$ .

Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

 $s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i (x_i - \overline{x})^2$

Trong đó:

$n_i$ — tần số của nhóm thứ $i$ .
$x_i$ — trung điểm của nhóm thứ $i$ .
$\overline{x}$ — giá trị trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, được tính bởi:
$\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^k n_i x_i}{n}$

3. Hướng dẫn từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ: Bảng phân bố điểm kiểm tra Toán của một lớp được ghép nhóm như sau:

Các lớp điểm | Số học sinh

5–6 | 3
7–8 | 8
9–10 | 9

Bước 1: Xác định trung điểm của mỗi lớp:
- Lớp 1 (5–6): $x_1 = \frac{5+6}{2} = 5{,}5$
- Lớp 2 (7–8): $x_2 = \frac{7+8}{2} = 7{,}5$
- Lớp 3 (9–10): $x_3 = \frac{9+10}{2} = 9{,}5$
Bước 2: Xác định tần số (số học sinh mỗi lớp):
$n_1 = 3$ , $n_2 = 8$ , $n_3 = 9$ , tổng $n = 3 + 8 + 9 = 20$ .
Bước 3: Tính số trung bình cộng:
$\overline{x} = \frac{3 \times 5{,}5 + 8 \times 7{,}5 + 9 \times 9{,}5}{20} = \frac{16{,}5 + 60 + 85{,}5}{20} = \frac{162}{20} = 8{,}1$
Bước 4: Tính phương sai:
$s^2 = \frac{1}{20} [3(5{,}5 - 8{,}1)^2 + 8(7{,}5 - 8{,}1)^2 + 9(9{,}5 - 8{,}1)^2]$
- $5{,}5 - 8{,}1 = -2{,}6$ , bình phương $= 6{,}76$
- $7{,}5 - 8{,}1 = -0{,}6$ , bình phương $= 0{,}36$
- $9{,}5 - 8{,}1 = 1{,}4$ , bình phương $= 1{,}96$
Tiếp theo:
$= \frac{1}{20} [3 \times 6{,}76 + 8 \times 0{,}36 + 9 \times 1{,}96 ]= \frac{1}{20} [20{,}28 + 2{,}88 + 17{,}64] = \frac{1}{20} [40{,}8]= 2{,}04<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo><</mo><mi>b</mi><mi>r</mi><mo>></mo><mi>V</mi><mtext>ậ</mtext><mi>y</mi><mi>p</mi><mi>h</mi><mtext>ươ</mtext><mi>n</mi><mi>g</mi><mi>s</mi><mi>a</mi><mi>i</mi><mi>l</mi><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>ˋ</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex"> Vậy phương sai là</annotation></semantics></math><br>Vậyphươngsailaˋs^2 = 2{,}04$ .

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Chỉ sử dụng công thức khi số liệu đã được phân nhóm.
Trung điểm $x_i$ được giả định đại diện cho tất cả giá trị trong nhóm, nên chỉ là xấp xỉ.
Phương sai luôn không âm.
Nếu các nhóm có độ rộng khác nhau, vẫn tính trung điểm bình thường.
Số lượng mẫu ( $n$ ) phải lớn đủ để kết quả có ý nghĩa thống kê.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phương sai có liên hệ chặt chẽ với các đại lượng thống kê quan trọng khác:

Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt{s^2}$ — đo độ phân tán trung bình.
Trung bình cộng $\overline{x}$ — trung tâm của phân phối số liệu.
Khi các số liệu không ghép nhóm, phương sai được tính bằng công thức $s^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \overline{x})^2$ .

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Bảng phân bố chiều cao (cm) của học sinh lớp 12A được chia thành các nhóm như sau: Chiều cao (cm) | Số học sinh
155–159 | 5
160–164 | 15
165–169 | 20
170–174 | 10
Tính phương sai cho bảng số liệu trên.

Tính trung điểm:
- $x_1 = \frac{155+159}{2} = 157$
- $x_2 = \frac{160+164}{2} = 162$
- $x_3 = \frac{165+169}{2} = 167$
- $x_4 = \frac{170+174}{2} = 172$
Tần số: $n_1=5, n_2=15, n_3=20, n_4=10, n=50$ .
Tính trung bình cộng:
$\overline{x} = \frac{5 \times 157 + 15 \times 162 + 20 \times 167 + 10 \times 172}{50} = \frac{785 + 2430 + 3340 + 1720}{50} = \frac{8275}{50} = 165{,}5$
Tính phương sai:
$s^2 = \frac{1}{50}[5(157-165{,}5)^2 + 15(162-165{,}5)^2 + 20(167-165{,}5)^2 + 10(172-165{,}5)^2 ]$
Tính từng hạng tử:
- $157-165{,}5 = -8{,}5$ , bình phương $= 72{,}25$
- $162-165{,}5 = -3{,}5$ , bình phương $= 12{,}25$
- $167-165{,}5 = 1{,}5$ , bình phương $= 2{,}25$
- $172-165{,}5 = 6{,}5$ , bình phương $= 42{,}25$

Thay số:
$= \frac{1}{50}[5 \times 72{,}25 + 15 \times 12{,}25 + 20 \times 2{,}25 + 10 \times 42{,}25 ]= \frac{1}{50}[361,25 + 183,75 + 45 + 422,5]= \frac{1}{50}[1012,5]= 20,25<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo><</mo><mi>b</mi><mi>r</mi><mo>></mo><mi>V</mi><mtext>ậ</mtext><mi>y</mi><mi>p</mi><mi>h</mi><mtext>ươ</mtext><mi>n</mi><mi>g</mi><mi>s</mi><mi>a</mi><mi>i</mi><mi>l</mi><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>ˋ</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex"> Vậy phương sai là</annotation></semantics></math><br>Vậyphươngsailaˋs^2 = 20,25$ .

Bài tập 2

Trong một số liệu ghép nhóm, có các lớp: Lớp | Số phần tử
2–4 | 4
5–7 | 6
8–10 | 10
Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Trung điểm: $x_1 = 3$ , $x_2 = 6$ , $x_3 = 9$ .
Tần số: $n_1=4$ , $n_2=6$ , $n_3=10$ , $n=20$ .
$\overline{x} = \frac{4 \times 3 + 6 \times 6 + 10 \times 9}{20} = \frac{12+36+90}{20} = \frac{138}{20} = 6,9$
Phương sai:
$s^2 = \frac{1}{20}[4(3-6,9)^2 + 6(6-6,9)^2 + 10(9-6,9)^2]$
- $3-6,9 = -3,9$ , bình phương $= 15,21$
- $6-6,9 = -0,9$ , bình phương $= 0,81$
- $9-6,9 = 2,1$ , bình phương $= 4,41$

$= \frac{1}{20}[4 \times 15,21 + 6 \times 0,81 + 10 \times 4,41]= \frac{1}{20}[60,84 + 4,86 + 44,1]= \frac{1}{20}[109,8]= 5,49<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo><</mo><mi>b</mi><mi>r</mi><mo>></mo><mi>V</mi><mtext>ậ</mtext><mi>y</mi><mi>p</mi><mi>h</mi><mtext>ươ</mtext><mi>n</mi><mi>g</mi><mi>s</mi><mi>a</mi><mi>i</mi><mi>l</mi><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>ˋ</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex"> Vậy phương sai là</annotation></semantics></math><br>Vậyphươngsailaˋs^2 = 5,49$ .

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Quên tính trung điểm đúng của từng nhóm.
Không chú ý tổng tần số $n$ khi lấy số liệu.
Bấm nhầm máy tính khi tính toán từng bước.
Dùng sai công thức (dùng công thức cho mẫu không ghép nhóm).
Quên lấy số liệu từ bảng hoặc lấy nhầm thuộc tính giữa nhóm và tần số.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là chỉ số đo mức độ phân tán, tính bằng trung bình bình phương khoảng cách giữa trung điểm nhóm và giá trị trung bình cộng.
Công thức: $s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i (x_i - \overline{x})^2$
Cần xác định đúng trung điểm của từng nhóm và tần số.
Thường sử dụng khi làm việc với bảng phân bố tần số ghép nhóm.
Phương sai liên hệ trực tiếp với độ lệch chuẩn, trung bình – là các đại lượng cơ bản của thống kê.

Blog

Phương Sai của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm: Khái Niệm, Ý Nghĩa và Cách Tính Chi Tiết

1. Giới thiệu về Phương Sai của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm

2. Định nghĩa chính xác về Phương Sai của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm

3. Hướng dẫn từng bước với ví dụ minh họa

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Bài tập 2

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Blog

1. Giới thiệu về Phương Sai của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm

2. Định nghĩa chính xác về Phương Sai của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm

3. Hướng dẫn từng bước với ví dụ minh họa

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Bài tập 2

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Theo dõi chúng tôi tại

Nhận thông tin mới nhất về chúng tôi