Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm - Giải thích, hướng ...

1. Giới thiệu về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm và tầm quan trọng trong chương trình toán lớp 12

Trong chương trình Toán lớp 12, nội dung về thống kê đóng một vai trò quan trọng, không chỉ phục vụ cho việc thi cử mà còn ứng dụng nhiều trong cuộc sống thực tiễn. Một trong những đại lượng thống kê thường gặp là phương sai (variance). Khi dữ liệu được trình bày dưới dạng ghép nhóm (chia lớp, bảng tần số), việc tính phương sai có những đặc điểm khác biệt so với dữ liệu rời rạc thông thường. Hiểu được khái niệm phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm sẽ giúp bạn phân tích, đánh giá mức độ phân tán của dữ liệu một cách chính xác và khoa học hơn.

2. Định nghĩa chính xác về "Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm"

Giả sử ta có một mẫu số liệu đã được ghép nhóm thành các lớp (khoảng giá trị) với từng lớp có tần số tương ứng. Khi đó, phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định theo công thức sau:

Giả sử mẫu số liệu được chia thành $k$ lớp:

Lớp thứ $i$ có dấu hiệu đại diện là $x_i$ (thường lấy giá trị trung bình cộng của hai đầu lớp).
Tần số của lớp $i$ là $n_i$ ( $i = 1, 2,..., k$ ).
Tổng số số liệu: $n = n_1 + n_2 + \,... \, + n_k$ .

Khi đó:

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} n_i x_i $$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} n_i x_i$$

S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i (x_i - \bar{x})^2 $$S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i (x_i - \bar{x})^2$$

$S^2$ gọi là phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Lập bảng phân phối tần số ghép nhóm

Giả sử điểm kiểm tra Toán của 50 học sinh được bảng hóa như sau:

Bước 2: Tính dấu hiệu đại diện của mỗi lớp (

x_i

)

Giá trị đại diện cho mỗi lớp lấy là trung điểm của khoảng lớp:

Lớp [2,4): $x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$
Lớp [4,6): $x_2 = 5$
Lớp [6,8): $x_3 = 7$
Lớp [8,10]: $x_4 = 9$

Bước 3: Tính trung bình cộng ghép nhóm (

\bar{x}

)

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i x_i = \frac{1}{50} (3 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 24 \cdot 7 + 16 \cdot 9) $$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i x_i = \frac{1}{50} (3 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 24 \cdot 7 + 16 \cdot 9)$$

Cụ thể:

3 \cdot 3 = 9 \\ 7 \cdot 5 = 35 \\ 24 \cdot 7 = 168 \\ 16 \cdot 9 = 144 \\ \text{Tổng} = 9 + 35 + 168 + 144 = 356 \\ \Rightarrow \bar{x} = \frac{356}{50} = 7,12 $$3 \cdot 3 = 9 \\ 7 \cdot 5 = 35 \\ 24 \cdot 7 = 168 \\ 16 \cdot 9 = 144 \\ \text{Tổng} = 9 + 35 + 168 + 144 = 356 \\ \Rightarrow \bar{x} = \frac{356}{50} = 7,12$$

Bước 4: Tính phương sai ghép nhóm (

S^2

)

S^2 = \frac{1}{50} \left[3(3-7,12)^2 + 7(5-7,12)^2 + 24(7-7,12)^2 + 16(9-7,12)^2\right] $$S^2 = \frac{1}{50} \left[3(3-7,12)^2 + 7(5-7,12)^2 + 24(7-7,12)^2 + 16(9-7,12)^2\right]$$

Tính từng hạng tử:

(3-7,12)^2 = (-4,12)^2 = 16,9744 \\ (5-7,12)^2 = (-2,12)^2 = 4,4944 \\ (7-7,12)^2 = (-0,12)^2 = 0,0144 \\ (9-7,12)^2 = 1,88^2 = 3,5344

S^2 = \frac{1}{50} \left[3 \cdot 16,9744 + 7 \cdot 4,4944 + 24 \cdot 0,0144 + 16 \cdot 3,5344 \right] $$S^2 = \frac{1}{50} \left[3 \cdot 16,9744 + 7 \cdot 4,4944 + 24 \cdot 0,0144 + 16 \cdot 3,5344 \right]$$

= \frac{1}{50} \left[50,9232 + 31,4608 + 0,3456 + 56,5504 \right] $$= \frac{1}{50} \left[50,9232 + 31,4608 + 0,3456 + 56,5504 \right]$$

= \frac{1}{50} (139,28) = 2,7856 $$= \frac{1}{50} (139,28) = 2,7856$$

Vậy phương sai mẫu số liệu ghép nhóm là $S^2 \approx 2,79$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Nếu tần số các lớp bằng nhau, việc tính toán có thể được rút gọn.
Khi khoảng lớp không đều nhau, vẫn tính dấu hiệu đại diện cho từng lớp bình thường, chỉ khác tổng tần số ở các lớp.
Nếu nhóm cuối là khoảng mở (ví dụ: ">=10"), cần cân nhắc về lựa chọn giá trị đại diện.
Có thể gặp phương sai bằng 0 khi tất cả các giá trị tập trung tại một lớp (nghĩa là không phân tán).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Phương sai là đại lượng đo mức độ phân tán của một tập hợp dữ liệu quanh giá trị trung bình. Trong thống kê, nó liên hệ mật thiết với độ lệch chuẩn ( $\sigma = \sqrt{S^2}$ ), giúp đánh giá độ ổn định của dữ liệu.
- Phương sai còn là cầu nối giữa bảng ghép nhóm và các đặc trưng khác như trung bình, mốt, tứ phân vị.

Hình minh họa: Biểu đồ cột thể hiện tần số phân bố điểm kiểm tra Toán của 50 học sinh theo các khoảng điểm 0–2, 2–4, 4–6, 6–8 và 8–10 — Biểu đồ cột thể hiện tần số phân bố điểm kiểm tra Toán của 50 học sinh theo các khoảng điểm 0–2, 2–4, 4–6, 6–8 và 8–10

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Bảng lương của 40 nhân viên công ty được thống kê ghép nhóm như sau:

a) Tính trung bình cộng ghép nhóm. b) Tính phương sai mẫu số liệu ghép nhóm.

Giải:

Xác định dấu hiệu đại diện: $x_1 = 6$ , $x_2 = 8$ , $x_3 = 10$ , $x_4 = 12$
Tổng số dữ liệu $n = 8 + 12 + 14 + 6 = 40$

\bar{x} = \frac{8 \cdot 6 + 12 \cdot 8 + 14 \cdot 10 + 6 \cdot 12}{40} = \frac{48 + 96 + 140 + 72}{40} = \frac{356}{40} = 8,9 $$\bar{x} = \frac{8 \cdot 6 + 12 \cdot 8 + 14 \cdot 10 + 6 \cdot 12}{40} = \frac{48 + 96 + 140 + 72}{40} = \frac{356}{40} = 8,9$$

S^2 = \frac{1}{40} [8 \cdot (6 - 8,9)^2 + 12 \cdot (8 - 8,9)^2 + 14 \cdot (10-8,9)^2 + 6 \cdot (12-8,9)^2] $$S^2 = \frac{1}{40} [8 \cdot (6 - 8,9)^2 + 12 \cdot (8 - 8,9)^2 + 14 \cdot (10-8,9)^2 + 6 \cdot (12-8,9)^2]$$

(6-8,9)^2 = 8,41 \\ (8-8,9)^2 = 0,81 \\ (10-8,9)^2 = 1,21 \\ (12-8,9)^2 = 9,61

S^2 = \frac{1}{40}[8 \cdot 8,41 + 12 \cdot 0,81 + 14 \cdot 1,21 + 6 \cdot 9,61] \\ = \frac{1}{40}[67,28 + 9,72 + 16,94 + 57,66] \\ = \frac{1}{40}(151,6) = 3,79 $$S^2 = \frac{1}{40}[8 \cdot 8,41 + 12 \cdot 0,81 + 14 \cdot 1,21 + 6 \cdot 9,61] \\ = \frac{1}{40}[67,28 + 9,72 + 16,94 + 57,66] \\ = \frac{1}{40}(151,6) = 3,79$$

Bài tập 2

Điểm số môn Lý của lớp 12A1 được phân phối như sau:

Hãy tính phương sai mẫu số liệu ghép nhóm.

Gợi ý:
- Tính $x_i$ cho từng lớp (trung điểm)
- Tính $\bar{x}$ và $S^2$ theo công thức như trên.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Quên lấy giá trị trung điểm cho dấu hiệu đại diện $x_i$ . Lưu ý luôn dùng trung bình cộng hai đầu lớp.
Cộng nhầm tổng tần số ( $n$ ). Hãy kiểm tra lại tổng các $n_i$ có đúng với tổng số liệu chưa.
Nhầm lẫn giữa phương sai ghép nhóm và phương sai mẫu rời rạc. Phương sai rời rạc sử dụng từng số liệu cụ thể, còn ghép nhóm dùng trung bình lớp.
Nhập nhầm số học với các giá trị thập phân, cần cẩn thận khi tính toán.

8. Tóm tắt và điểm chính cần nhớ

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm giúp đo mức độ phân tán dữ liệu được trình bày thành các lớp, khoảng.
Công thức tổng quát: $S^2 = \frac{1}{n}\sum n_i(x_i - \bar{x})^2$ với $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum n_ix_i$
Lưu ý chọn đúng dấu hiệu đại diện (trung điểm lớp), tổng tần số và tính cẩn thận.
Nên vận dụng nhiều bài tập để tránh nhầm lẫn.

Hy vọng với bài viết này, bạn đã hiểu rõ hơn về phương sai mẫu số liệu ghép nhóm, có thể vận dụng thành thạo vào bài tập cũng như thực tiễn!

Blog

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm: Giải thích chi tiết, ví dụ minh họa và hướng dẫn cho học sinh lớp 12

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý