Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm: Giải thích chi tiết và hướng dẫn tính toán cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về phương sai mẫu số liệu ghép nhóm

Thống kê là một nhánh quan trọng của toán học, giúp chúng ta mô tả, phân tích, dự đoán các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội. Trong chương trình toán học lớp 12, "Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm" là một khái niệm trọng tâm để đánh giá mức độ phân tán của các giá trị dữ liệu trong mẫu. Khái niệm này xuất hiện ở chương “Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm" (thường thuộc chương III của chương trình lớp 12). Việc nắm vững phương sai mẫu số liệu ghép nhóm sẽ giúp các em giải quyết thành thạo các bài toán thống kê, phục vụ tốt cho các kỳ kiểm tra, thi THPT Quốc gia, cũng như ứng dụng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu thực tiễn.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng về phương sai mẫu số liệu ghép nhóm

Khi mẫu số liệu lớn, các giá trị được chia thành nhiều lớp (nhóm) để tiện xử lý, mỗi lớp có tần số riêng. Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm được định nghĩa như sau:

Giả sử mẫu số liệu ghép nhóm được chia thành$k$lớp, mỗi lớp có:

+$n_i$: tần số (số quan sát) của lớp thứ $i$($i = 1, 2, \ldots, k$)+$x_i$: giá trị đại diện (thường là điểm giữa lớp, còn gọi là "mốc giữa") cho lớp thứ $i$+$n = n_1 + n_2 + \ldots + n_k$: tổng số các quan sát.

Khi đó, phương sai mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^k n_i (x_i - \overline{x})^2$

trong đó:

+ $\overline{x}$là giá trị trung bình mẫu ghép nhóm, được tính bởi:$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i x_i$

3. Hướng dẫn từng bước cách tính phương sai mẫu số liệu ghép nhóm với ví dụ minh họa

Để giúp các em dễ hiểu, chúng ta sẽ đi qua từng bước cụ thể bằng một ví dụ thực tế.

Ví dụ minh họa

Một lớp học khảo sát điểm kiểm tra Toán của 40 học sinh và thu được bảng tần số ghép nhóm sau:

| Lớp điểm | Số học sinh ($n_i$) ||----------|-------------------|| 2 - 4 | 5 || 4 - 6 | 10 || 6 - 8 | 15 || 8 - 10 | 10 |

Bước 1: Xác định điểm giữa ($x_i$) cho mỗi lớp. Điểm giữa lớp là:$x_i = \dfrac{a_i + b_i}{2}$, với$a_i$và $b_i$lần lượt là giới hạn dưới và giới hạn trên của lớp.

| Lớp điểm |$n_i$|$x_i$|$n_i x_i$|| 2 - 4 | 5 | 3 | 15 || 4 - 6 | 10 | 5 | 50 || 6 - 8 | 15 | 7 | 105 || 8 - 10 | 10 | 9 | 90 |

Bước 2: Tính tổng$n$và giá trị trung bình mẫu$\overline{x}$

$n = 5 + 10 + 15 + 10 = 40$$\overline{x} = \frac{15 + 50 + 105 + 90}{40} = \frac{260}{40} = 6,5$

Bước 3: Tính$(x_i - \overline{x})^2$cho từng lớp, rồi nhân với$n_i$.

| Lớp điểm |$x_i$|$x_i - \overline{x}$|$(x_i - \overline{x})^2$|$n_i \cdot (x_i - \overline{x})^2$|| 2 - 4 | 3 | -3,5 | 12,25 |$5 \times 12,25 = 61,25$|| 4 - 6 | 5 | -1,5 | 2,25 |$10 \times 2,25 = 22,5$|| 6 - 8 | 7 | 0,5 | 0,25 |$15 \times 0,25 = 3,75$|| 8 - 10 | 9 | 2,5 | 6,25 |$10 \times 6,25 = 62,5$|

Cộng lại:$61,25 + 22,5 + 3,75 + 62,5 = 150$

Bước 4: Tính phương sai mẫu:

$s^2 = \frac{150}{40-1} = \frac{150}{39} \approx 3,85$

Vậy, phương sai mẫu số liệu ghép nhóm của lớp học là khoảng$3,85$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

– Nếu số quan sát$n$quá nhỏ, nên sử dụng số liệu không ghép nhóm để tính chính xác hơn.

– Khi các lớp có độ rộng khác nhau, nên kiểm tra kỹ cách tính điểm giữa và đảm bảo tổng cộng đúng số lượng mẫu.

– Đối với bảng tần số tương đối, trước khi tính cần chuyển sang tần số tuyệt đối hoặc nhân thêm tổng số mẫu$n$.

– Có 2 công thức tính phương sai trong thực tiễn hay gặp: dùng mẫu ($n-1$) và tổng thể ($n$). Kĩ năng cần chú ý xác định đúng trường hợp.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

– Phương sai liên quan trực tiếp đến độ lệch chuẩn ($s$), bởi $s = \sqrt{s^2}$.
– Trung bình mẫu ($\overline{x}$) là cơ sở để tính phương sai.
– Nếu so sánh mức độ phân tán giữa các nhóm số liệu, thường dùng độ lệch chuẩn hoặc phương sai.

– Phương sai là một trong những số đặc trưng đo mức độ phân tán bên cạnh khoảng biến thiên, tứ phân vị, v.v...

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Một mẫu dữ liệu gồm các lớp điểm: 0-2 (3 học sinh), 2-4 (7 học sinh), 4-6 (10 học sinh). Tính phương sai mẫu số liệu ghép nhóm.

Giải:

Bước 1: Điểm giữa: 1, 3, 5 ứng với 3 lớp.Bước 2: Tổng số học sinh$n = 3+7+10 = 20$.Bước 3: Tính$n_i x_i$:$3 \times 1 = 3$,$7 \times 3 = 21$,$10 \times 5 = 50$.Bước 4: Tổng$n_i x_i = 3+21+50 = 74$. Trung bình:$\overline{x} = 74/20 = 3,7$.Bước 5: Tính$(x_i - \overline{x})^2$:$(1-3,7)^2 = 7,29$;$(3-3,7)^2 = 0,49$;$(5-3,7)^2 = 1,69$.Bước 6: Nhân với$n_i$:$3 \times 7,29=21,87$;$7 \times 0,49=3,43$;$10 \times 1,69=16,9$.Bước 7: Tổng:$21,87+3,43+16,9=42,2$.Bước 8: Phương sai:$s^2 = 42,2/19 \approx 2,22$.Bài tập 2

Điểm trung bình kiểm tra của 50 học sinh được chia thành các lớp: 3-5 (4 hs), 5-7 (16 hs), 7-9 (23 hs), 9-11 (7 hs). Tính phương sai.

Hướng dẫn giải giống bài trên:
- Điểm giữa: 4, 6, 8, 10
-$n_i x_i$:$4 \times 4 = 16$,$16 \times 6 = 96$,$23 \times 8=184$,$7 \times 10 = 70$; tổng:$16+96+184+70 = 366$
- Trung bình:$366/50 = 7,32$
-$(x_i - \overline{x})^2$:$(4-7,32)^2= 11,022$,$(6-7,32)^2=1,742$,$(8-7,32)^2=0,462$,$(10-7,32)^2=7,182$
- Nhân với$n_i$:$4 \times 11,022=44,088$;16 \times 1,742=27,872;23 \times 0,462=10,626;$7 \times 7,182=50,274$
- Tổng:$44,088+27,872+10,626+50,274=132,86$
- Phương sai:$s^2=132,86/49 \approx 2,71$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên dùng điểm giữa (nhiều học sinh nhầm lẫn lấy giá trị biên thay vì điểm giữa).

- Nhầm lẫn công thức phương sai mẫu ($n-1$) và phương sai tổng thể ($n$). Nếu đề cho mẫu, phải dùng$n-1$!

- Không cộng chính xác tổng$n$và tổng$n_i x_i$.

- Khi chuyển đổi từ tần số tương đối sang tần số tuyệt đối quên nhân với$n$hoặc làm tròn số quá sớm.

8. Tóm tắt và điểm cần nhớ chính về phương sai mẫu số liệu ghép nhóm

Phương sai đo mức độ phân tán của số liệu quanh giá trị trung bình.Số liệu ghép nhóm phải tính điểm giữa lớp đại diện.Công thức: $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum n_i(x_i-\overline{x})^2$.So sánh với độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$.Chú ý các lỗi cộng, nhân sai và nhầm công thức.