Phương sai S² – Khái niệm, Cách tính và Ứng dụng trong Thống kê lớp 12

1. Giới thiệu về phương sai S² và tầm quan trọng

Trong thống kê và xác suất, "phương sai " (ký hiệu S²) là một khái niệm trọng tâm, đặc biệt quan trọng trong chương trình toán học lớp 12. Phương sai cho biết mức độ phân tán của các giá trị dữ liệu quanh giá trị trung bình. Nhờ phương sai, chúng ta có thể đánh giá được dữ liệu có đồng đều hay biến động nhiều. Hiểu và tính phương sai là nền tảng cho nhiều nội dung quan trọng khác như: độ lệch chuẩn, kiểm định giả thuyết, mô hình hóa,...

2. Định nghĩa chính xác phương sai S²

Giả sử có dãy số liệu gồm$n$giá trị $x_1, x_2,..., x_n$với trung bình cộng$\overline{x}$, phương sai mẫu$S^2$ được định nghĩa là:

$S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$

-$x_i$: giá trị số liệu thứ $i$-$\overline{x}$: trung bình cộng các giá trị -$n$: số lượng giá trị trong mẫu Lưu ý: Công thức này dùng cho mẫu số liệu. Nếu tính cho toàn bộ tổng thể, mẫu số chia là $n$, không phải$n-1$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử có mẫu số liệu gồm$n = 5$bạn học sinh được điểm kiểm tra Toán như sau: 8, 7, 9, 6, 10.

• Bước 1: Tính trung bình cộng$\overline{x}$:
• $\overline{x} = \frac{8 + 7 + 9 + 6 + 10}{5} = \frac{40}{5} = 8$
• Bước 2: Tính các độ lệch so với trung bình cộng và bình phương chúng:

• Bước 3: Tính tổng bình phương của các độ lệch:
• $Tổng = 0 + 1 + 1 + 4 + 4 = 10$
• Bước 4: Tính phương sai mẫu S²:
• S^2 = \frac{Tổng}{n-1} = \frac{10}{5-1} = \frac{10}{4} = 2,5

Vậy phương sai S² của mẫu số liệu này là 2,5. Nghĩa là mức độ phân tán trung bình của dữ liệu cách xa giá trị trung bình là 2,5 (đơn vị bình phương).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu tất cả giá trị trùng nhau, phương sai S² = 0 (dữ liệu không phân tán).
- Khi dữ liệu là toàn bộ tổng thể, mẫu số chia là n.
- Khi dữ liệu là mẫu (không phải toàn bộ), mẫu số chia là $n-1$ để phương sai không bị đánh giá thấp.
- Phương sai luôn lớn hơn hoặc bằng 0, không thể âm.
- Đơn vị của phương sai là bình phương đơn vị gốc (nếu đo chiều cao là cm thì phương sai là cm²).

5. Liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Độ lệch chuẩn (Standard Deviation): $S = \sqrt{S^2}$, là căn bậc hai của phương sai và dùng nhiều hơn vì đơn vị giống đơn vị gốc.
• Trung bình cộng:$\overline{x}$là cơ sở để tính phương sai.
• Khoảng biến thiên: Là hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, cũng là một thước đo mức độ phân tán, nhưng kém chính xác hơn phương sai.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tính phương sai

Cho dãy số liệu: 2, 4, 6, 8, 10

Giải:

• Tính trung bình cộng:
• $\overline{x} = \frac{2+4+6+8+10}{5} = 6$
• Tính bình phương các độ lệch và tổng lại:

Tổng:$16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40$

Phương sai:
$<br />S^2 = \frac{40}{5-1} = \frac{40}{4} = 10<br />$

Vậy phương sai S² của dãy số liệu là 10.

Bài tập 2: Phương sai từ bảng tần số

Cho bảng tần số:
| Giá trị | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---------|---|---|---|---|
| Tần số | 2 | 3 | 1 | 4 | Tính phương sai S².

• Tính tổng số liệu:$n = 2+3+1+4 = 10$
• Tính trung bình cộng:

$<br />\overline{x} = \frac{1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 1 + 4 \times 4}{10} = \frac{2 + 6 + 3 + 16}{10} = \frac{27}{10} = 2,7<br />$

Dễ dàng lập bảng sau:

Tổng:$5,78 + 1,47 + 0,09 + 6,76 = 14,1$

Do đây là tổng thể, chia cho$n$:
$<br />S^2 = \frac{14,1}{10} = 1,41<br />$

Vậy phương sai S² = 1,41.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên bình phương hiệu số ($x_i - \overline{x}$), dẫn tới kết quả âm hoặc bằng 0 không đúng.
• Nhầm mẫu số chia$n$hoặc$n-1$; cần xác định rõ là tính theo mẫu hay tổng thể.
• Quên nhân với tần số ($n_i$) khi dữ liệu có tần số.
• Nhập sai dữ liệu hoặc nhầm dấu khi tính toán.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Phương sai S² thể hiện mức độ phân tán của dữ liệu.
• Áp dụng công thức đúng với dữ liệu mẫu ($n-1$) hoặc toàn bộ ($n$).
• Liên hệ chặt chẽ với độ lệch chuẩn, trung bình cộng.
• Phân tích kỹ để tránh các lỗi tính toán do nhầm lẫn công thức.