Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm – Kiến thức Thống kê lớp 12

1. Giới thiệu về phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong chương trình Toán lớp 12, phần Thống kê giữ vai trò đặc biệt quan trọng giúp học sinh hiểu và xử lý các tập dữ liệu thực tế. Bài 2 này sẽ giúp bạn nắm vững các khái niệm về phương sai và độ lệch chuẩn khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm – một dạng dữ liệu thường gặp trong thống kê thực tế.

Phương sai và độ lệch chuẩn là những số đo đặc trưng cho mức độ phân tán của dữ liệu quanh giá trị trung bình. Hai chỉ số này cực kỳ quan trọng trong đánh giá mức độ đồng đều hoặc biến động của tập số liệu, từ đó hỗ trợ phân tích, ra quyết định, giải các bài toán thống kê hoặc ứng dụng vào việc học cũng như đời sống.

2. Định nghĩa chính xác về phương sai và độ lệch chuẩn mẫu ghép nhóm

Giả sử mẫu số liệu đã được chia thành$k$nhóm (lớp), mỗi nhóm có tần số $n_i$(số phần tử trong nhóm thứ $i$,$i=1,2,...,k$), và mốc đại diện cho nhóm thứ $i$là $x_i^*$. Tổng số phần tử là $n = n_1 + n_2 +... + n_k$.

- Giá trị trung bình mẫu:$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i x_i^*$

- Phương sai mẫu (ký hiệu:$S^2$):$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^k n_i (x_i^* - \bar{x})^2$

- Độ lệch chuẩn mẫu (ký hiệu:$S$):$S = \sqrt{S^2}$

3. Các bước tính phương sai và độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm có ví dụ minh họa

Giả sử có bảng tần số số liệu ghép nhóm sau đây (dữ liệu về chiều cao nhóm học sinh):

Bước 1: Tìm mốc đại diện$x_i^*$của từng nhóm (lấy giá trị trung bình cộng của giới hạn dưới và trên).

• Nhóm 1:$x_1^* = \frac{150 + 155}{2} = 152,5$
• Nhóm 2:$x_2^* = \frac{156 + 160}{2} = 158$
• Nhóm 3:$x_3^* = \frac{161 + 165}{2} = 163$
• Nhóm 4:$x_4^* = \frac{166 + 170}{2} = 168$

Bước 2: Tính tổng số phần tử:$n = 5 + 12 + 8 + 5 = 30$

Bước 3: Tính giá trị trung bình mẫu:

$\bar{x} = \frac{1}{30}(5 \cdot 152,5 + 12 \cdot 158 + 8 \cdot 163 + 5 \cdot 168)$

$= \frac{1}{30}(762,5 + 1896 + 1304 + 840)$

$= \frac{1}{30}(4802,5) \approx 160,08$(làm tròn đến hai chữ số thập phân)

Bước 4: Tính$n_i (x_i^* - \bar{x})^2$cho từng nhóm:

• Nhóm 1:$5 \cdot (152,5 - 160,08)^2 = 5 \cdot (-7,58)^2 \approx 5 \cdot 57,48 = 287,4$
• Nhóm 2:$12 \cdot (158 - 160,08)^2 = 12 \cdot (-2,08)^2 \approx 12 \cdot 4,33 = 51,96$
• Nhóm 3:$8 \cdot (163 - 160,08)^2 = 8 \cdot (2,92)^2 \approx 8 \cdot 8,53 = 68,24$
• Nhóm 4:$5 \cdot (168 - 160,08)^2 = 5 \cdot (7,92)^2 \approx 5 \cdot 62,73 = 313,65$

Bước 5: Tính phương sai mẫu:

Tổng:$287,4 + 51,96 + 68,24 + 313,65 = 721,25$

$S^2 = \frac{721,25}{30-1} = \frac{721,25}{29} \approx 24,87$

Bước 6: Tính độ lệch chuẩn mẫu:

$S = \sqrt{24,87} \approx 4,99$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi tính toán

• Khi số liệu phân nhóm không đều (ví dụ nhiều nhóm chỉ có 1 phần tử): kết quả về mức độ phân tán sẽ chưa phản ánh đầy đủ sự biến động của cả tập.
• Nếu chỉ có 1 nhóm, phương sai và độ lệch chuẩn sẽ bằng 0.
• Cần chọn đúng mốc đại diện, thường là trung điểm của khoảng, hoặc giá trị được yêu cầu cụ thể.
• Trong trường hợp số mẫu nhỏ (n < 30), phương sai mẫu với mẫu số là $n-1$phải được sử dụng để giải bias.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Giá trị trung bình (mean): Là trung tâm, còn phương sai và độ lệch chuẩn cho biết dữ kiện phân tán quanh trung bình như thế nào.
- Trong xác suất, phương sai cũng cho biết mức độ không chắc chắn của biến ngẫu nhiên.
- Độ lệch chuẩn thường được dùng để so sánh sự biến động giữa các mẫu số liệu khác nhau có cùng đơn vị đo lường.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Điều tra điểm kiểm tra Toán của một lớp học được chia như sau:

Hãy tính giá trị trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu điểm này.

Giải:

Tìm mốc đại diện:

• Nhóm 1:$x_1^* = \frac{3+4}{2} = 3,5$
• Nhóm 2:$x_2^* = \frac{5+6}{2} = 5,5$
• Nhóm 3:$x_3^* = \frac{7+8}{2} = 7,5$
• Nhóm 4:$x_4^* = \frac{9+10}{2} = 9,5$

$n = 2 + 10 + 15 + 3 = 30$(Tổng học sinh)

Tính$\bar{x}$:

$\bar{x} = \frac{1}{30}(2 \cdot 3,5 + 10 \cdot 5,5 + 15 \cdot 7,5 + 3 \cdot 9,5)$

$= \frac{1}{30}(7 + 55 + 112,5 + 28,5) = \frac{1}{30}(203) \approx 6,77$

Tính từng hạng tử:

• Nhóm 1:$2 \cdot (3,5 - 6,77)^2 \approx 2 \cdot 10,70 = 21,40$
• Nhóm 2:$10 \cdot (5,5 - 6,77)^2 \approx 10 \cdot 1,61 = 16,10$
• Nhóm 3:$15 \cdot (7,5 - 6,77)^2 \approx 15 \cdot 0,53 = 7,95$
• Nhóm 4:$3 \cdot (9,5 - 6,77)^2 \approx 3 \cdot 7,46 = 22,38$

Tính tổng:$21,40 + 16,10 + 7,95 + 22,38 = 67,83$

$S^2 = \frac{67,83}{29} \approx 2,34$

$S = \sqrt{2,34} \approx 1,53$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh khi học phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

• Nhầm mốc đại diện (không lấy trung điểm mà lấy số bất kỳ hoặc sai giới hạn).
• Nhầm công thức: cộng các$n_i(x_i^<em>)^2$thay vì $n_i(x_i^</em> - \bar{x})^2$.
• Nhớ sử dụng$n-1$ ở mẫu số, không phải$n$.
• Không làm tròn kết quả đúng yêu cầu (thường đến hai chữ số thập phân).
• Quên cộng đủ các nhóm khi tính tổng, bỏ sót nhóm có tần số nhỏ.

8. Tóm tắt & các điểm cần nhớ

- Phương sai và độ lệch chuẩn là các đại lượng đo mức độ phân tán của số liệu phản ánh sự biến động quanh giá trị trung bình.
- Khi làm việc với số liệu ghép nhóm, phải sử dụng mốc đại diện chính xác.
- Luôn sử dụng mẫu số $n-1$khi tính phương sai mẫu.
- Cẩn thận trong tính toán, không bỏ sót nhóm hoặc lấy sai mốc.
- Độ lệch chuẩn càng nhỏ, số liệu càng đồng đều; càng lớn, số liệu càng phân tán.

Kết bài

Nắm vững phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm sẽ giúp bạn tự tin giải các bài toán thống kê lớp 12, đồng thời áp dụng hiệu quả vào thực tiễn phân tích dữ liệu. Hãy luyện tập nhiều để thành thạo cách tính và nhận biết lỗi sai thường gặp!