Phương trình đường thẳng qua hai điểm – Hướng dẫn giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về phương trình đường thẳng qua hai điểm

Phương trình đường thẳng qua hai điểm là một phần kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Hình học lớp 12, đặc biệt khi học về hình học không gian và vector. Việc xác định phương trình đường thẳng khi biết hai điểm bất kỳ giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán thực tế lẫn bài toán học thuật, như xác định vị trí, giải bài toán giao điểm, song song và vuông góc giữa các đường thẳng, mặt phẳng trong mặt phẳng hoặc trong không gian.

2. Định nghĩa: Phương trình đường thẳng qua hai điểm

Đường thẳng là tập hợp các điểm nằm thẳng hàng theo một chiều xác định. Cho hai điểm phân biệt

A(x_1, y_1)

và

B(x_2, y_2)

trên mặt phẳng, có duy nhất một đường thẳng đi qua cả hai điểm này. Phương trình đường thẳng qua hai điểm được xác định theo các dạng sau:

Dạng tham số (trong không gian hoặc mặt phẳng):
Dạng tổng quát (trong mặt phẳng $Oxy$ ):

Dạng tổng quát trong mặt phẳng

Oxy

Phương trình đường thẳng qua hai điểm

A(x_1, y_1)

và

B(x_2, y_2)

là:

\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

Hoặc ở dạng tổng quát:

(y - y_1)(x_2 - x_1) = (x - x_1)(y_2 - y_1)

3. Các bước xác định phương trình đường thẳng qua hai điểm (Có ví dụ minh họa)

Bước 1: Xác định tọa độ hai điểm $A(x_1, y_1)$ và $B(x_2, y_2)$ .
Bước 2: Tìm vector chỉ phương của đường thẳng $\\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$ .
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng theo dạng tham số hoặc dạng tổng quát.

Ví dụ minh họa:

Cho hai điểm

A(1,2)

và

B(3,5)

. Tìm phương trình đường thẳng đi qua

A

và

B

• Vector chỉ phương:

\overrightarrow{AB} = (3-1, 5-2) = (2, 3)

• Phương trình tham số:

\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 3t \end{array} \right. \ (t \in \mathbb{R})

• Phương trình tổng quát:

\frac{y - 2}{3} = \frac{x - 1}{2} $$\frac{y - 2}{3} = \frac{x - 1}{2}$$

Quy đồng ta được:

3(x - 1) = 2(y - 2) \Leftrightarrow 3x - 2y + 1 = 0

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Hai điểm có hoành độ bằng nhau $\Rightarrow$ Đường thẳng song song với trục $Oy$ hoặc là đường thẳng đứng: $x = x_1 = x_2$
Hai điểm có tung độ bằng nhau $\Rightarrow$ Đường thẳng song song với trục $Ox$ hoặc là đường thẳng ngang: $y = y_1 = y_2$
Nếu hai điểm trùng nhau (tức là $A = B$ ), không tồn tại một đường thẳng rõ ràng đi qua hai điểm phân biệt.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khái niệm hệ số góc, vector pháp tuyến và phương trình tổng quát đều gắn liền với phương trình qua hai điểm.
Việc xác định phương trình đường thẳng còn quan trọng trong bài toán giao điểm đường thẳng với đường thẳng, với mặt phẳng (trong không gian).
Là bước cơ sở để tính diện tích tam giác, khoảng cách, góc giữa hai đường thẳng…

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1:

Hình minh họa: Minh họa đường thẳng trong không gian đi qua điểm A(1,2,3) và B(4,8,6) cùng phương trình tham số x = 1 + 3t, y = 2 + 6t, z = 3 + 3t — Minh họa đường thẳng trong không gian đi qua điểm A(1,2,3) và B(4,8,6) cùng phương trình tham số x = 1 + 3t, y = 2 + 6t, z = 3 + 3t

Hình minh họa: Đồ thị đường thẳng đi qua hai điểm A(1,2) và B(3,5), minh họa tam giác độ dốc Δx = 2, Δy = 3 và phương trình y = 1.5x + 0.5 — Đồ thị đường thẳng đi qua hai điểm A(1,2) và B(3,5), minh họa tam giác độ dốc Δx = 2, Δy = 3 và phương trình y = 1.5x + 0.5

Hình minh họa: Minh họa đường thẳng đứng x = 2 (từ hai điểm A(2,1) và B(2,3) có hoành độ bằng nhau) và đường thẳng ngang y = 2 (từ hai điểm C(1,2) và D(4,2) có tung độ bằng nhau) — Minh họa đường thẳng đứng x = 2 (từ hai điểm A(2,1) và B(2,3) có hoành độ bằng nhau) và đường thẳng ngang y = 2 (từ hai điểm C(1,2) và D(4,2) có tung độ bằng nhau)

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

A(2, -1)

và

B(-4, 5)

Lời giải:

\overrightarrow{AB} = (-4 - 2, 5 + 1) = (-6, 6)

Phương trình tham số:

\left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 6t \\ y = -1 + 6t \end{array} \right. \quad (t \in \mathbb{R})

Phương trình tổng quát sử dụng dạng:

\frac{y + 1}{6} = \frac{x - 2}{-6} $$\frac{y + 1}{6} = \frac{x - 2}{-6}$$

Quy đồng:

6(x - 2) + 6(y + 1) = 0 \Leftrightarrow x + y - 1 = 0

Bài tập 2:

Trong không gian, cho

A(1,2,3)

và

B(4,8,6)

. Viết phương trình tham số đường thẳng đi qua

A

và

B

\overrightarrow{AB} = (4-1, 8-2, 6-3) = (3,6,3)

\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 6t \\ z = 3 + 3t \end{array} \right. \quad (t \in \mathbb{R})

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Chọn nhầm hoành độ hoặc tung độ của hai điểm.
Không kiểm tra điều kiện hai điểm phân biệt (nếu hai điểm trùng nhau thì không lập được đường thẳng duy nhất).
Tính sai vector chỉ phương (lấy sai thứ tự $A$ với $B$ không ảnh hưởng nhiều nhưng cần nhất quán khi thay vào công thức).
Sai dấu trong quá trình quy đồng chuyển về dạng tổng quát.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Có thể viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm bằng nhiều dạng: tham số, tổng quát, đoạn thẳng.
Nắm chắc vector chỉ phương của đường thẳng.
Đối với không gian, càng nên ưu tiên dạng tham số.
Luôn kiểm tra hai điểm có trùng nhau hay không trước khi trình bày lời giải.

Blog

Phương trình đường thẳng qua hai điểm – Giải thích chi tiết, ví dụ minh họa và bài tập mẫu cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về phương trình đường thẳng qua hai điểm

2. Định nghĩa: Phương trình đường thẳng qua hai điểm

3. Các bước xác định phương trình đường thẳng qua hai điểm (Có ví dụ minh họa)

Ví dụ minh họa:

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1:

Bài tập 2:

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Blog

1. Giới thiệu về phương trình đường thẳng qua hai điểm

2. Định nghĩa: Phương trình đường thẳng qua hai điểm

3. Các bước xác định phương trình đường thẳng qua hai điểm (Có ví dụ minh họa)

Ví dụ minh họa:

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1:

Bài tập 2:

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Theo dõi chúng tôi tại

Nhận thông tin mới nhất về chúng tôi