Phương trình mặt cầu qua bốn điểm – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu chung về phương trình mặt cầu qua bốn điểm

Trong chương trình Hình học không gian lớp 12, bài toán tìm phương trình mặt cầu là một trong những nội dung trọng tâm, đặc biệt là các bài toán về mặt cầu đi qua bốn điểm không đồng phẳng. Việc hiểu được cách xác định phương trình mặt cầu qua bốn điểm không chỉ giúp các em ứng dụng vào các bài tập, mà còn nâng cao tư duy hình học giải tích, phục vụ cho các kỳ thi lớn và cả khi học toán nâng cao.

2. Định nghĩa chính xác: Mặt cầu qua bốn điểm

Trong không gian, mặt cầu là tập hợp các điểm$M(x, y, z)$thỏa mãn phương trình tổng quát:

Trong đó:$(a, b, c)$là tọa độ tâm,$R$là bán kính mặt cầu. Bài toán mặt cầu qua bốn điểm là bài toán xác định duy nhất một mặt cầu đi qua bốn điểm phân biệt không đồng phẳng$A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2), C(x_3, y_3, z_3), D(x_4, y_4, z_4)$.

3. Cách xác định phương trình mặt cầu qua bốn điểm – Bước giải kèm ví dụ minh họa

1. a) Viết phương trình tổng quát của mặt cầu cần tìm:
2. (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2
3. b) Thay tọa độ bốn điểm$A, B, C, D$vào phương trình trên, ta được 4 phương trình:

1. c) Trừ từng phương trình với phương trình đầu tiên, ta được 3 phương trình:

Rút gọn cho dễ nhìn, ta sẽ được hệ ba phương trình tuyến tính 3 ẩn$a, b, c$. Hệ này có dạng:

Sau khi giải hệ, ta tìm được tâm$I(a, b, c)$. Sau đó, thay một điểm (thường là $A$) vào phương trình mặt cầu tổng quát để tìm$R^2$.

Ví dụ minh họa

Cho 4 điểm$A(1, 2, 3)$,$B(2, 1, 4)$,$C(3, 2, 1)$,$D(2, 4, 3)$. Hãy tìm phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm này.

Các bước giải chi tiết sẽ được trình bày ở phần bài tập mẫu có lời giải phía dưới.

4. Trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Bốn điểm đồng phẳng: Không tồn tại mặt cầu duy nhất qua bốn điểm này.
• Bốn điểm đồng trục hoặc trùng nhau: Bài toán vô nghiệm hoặc có vô số mặt cầu.

5. Mối liên hệ với các khái niệm hình học khác

Khái niệm mặt cầu qua bốn điểm liên quan chặt chẽ với khái niệm mặt phẳng (xét việc bốn điểm có đồng phẳng không), đường tròn (trường hợp đặc biệt khi bốn điểm nằm trên một đường tròn và mặt cầu suy biến thành hình tròn trong không gian), và hình học giải tích nói chung, đặc biệt là trong các bài toán về không gian 3 chiều trong chương trình Toán 12.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

1. Bài 1: Tìm phương trình mặt cầu đi qua các điểm$A(1, 2, 3)$,$B(2, 1, 4)$,$C(3, 2, 1)$,$D(2, 4, 3)$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Giả sử phương trình mặt cầu:$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$.

Bước 2: Thay các điểm$A, B, C, D$vào phương trình, ta có hệ:

Bước 3: Trừ từng phương trình bên dưới với phương trình đầu tiên, ta sẽ thu được hệ ba phương trình tuyến tính cho$a, b, c$:

Giải hệ phương trình này ta thu được$a, b, c$. Sau đó thế ngược lại vào 1 trong 4 phương trình ban đầu để tìm$R^2$.

1. Bài 2: Cho 4 điểm$A(0,1,2)$,$B(1,1,0)$,$C(0,2,1)$,$D(1,0,1)$. Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm này.

Áp dụng tương tự các bước: Lập hệ, giải tìm$a, b, c$, thế lại tìm$R$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên kiểm tra tính không đồng phẳng của bốn điểm ban đầu.
• Lập hệ phương trình nhưng sai dấu hoặc nhầm hệ số.
• Không giải được hệ vì bốn điểm không thỏa mãn điều kiện tồn tại duy nhất mặt cầu.

8. Tóm tắt và những điểm chính cần nhớ

• Muốn xác định phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng, hãy sử dụng phương trình tổng quát và lập hệ phương trình với 3 ẩn dựa vào các điểm đã cho.
• Bốn điểm phải phân biệt và không đồng phẳng (kiểm tra bằng định thức vectơ).
• Vận dụng tốt phương pháp này sẽ giúp giải nhanh và hiệu quả các bài tập hình học không gian nâng cao lớp 12.