Phương trình mặt cầu qua bốn điểm: Khái niệm, hướng dẫn và ví dụ chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về phương trình mặt cầu qua bốn điểm

Trong chương trình Hình học không gian lớp 12, mặt cầu là một đối tượng hình học quan trọng, liên quan trực tiếp đến các vấn đề về vị trí tương đối, giao tuyến và bài toán xác định các mặt tròn xoay. Một kiến thức nền tảng là xác định mặt cầu qua 4 điểm không đồng phẳng. Việc nắm vững khái niệm và cách xác định phương trình mặt cầu này giúp bạn giải quyết dễ dàng nhiều bài toán về hình học không gian, đặc biệt trong các kỳ thi quan trọng như THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa phương trình mặt cầu qua bốn điểm

Mặt cầu trong không gian OXYZ có phương trình tổng quát:

$(x - a)$^2 +$(y - b)$^2 +$(z - c)$^2 = R^2

hoặc khai triển ra là:

x^2 + y^2 + z^2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0

Để định nghĩa mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng, ta cần viết một phương trình mặt cầu thỏa mãn cả 4 điểm đó. Khi cho 4 điểm$A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,$C(x_3, y_3, z_3)$,$D(x_4, y_4, z_4)$, mặt cầu duy nhất đi qua 4 điểm này (nếu 4 điểm không đồng phẳng) sẽ có dạng:

x^2 + y^2 + z^2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0

trong đó $A, B, C, D$là các ẩn số cần xác định sao cho cả 4 điểm đều thuộc mặt cầu.

3. Các bước xác định phương trình mặt cầu qua 4 điểm

Ta sẽ xác định$A, B, C, D$bằng cách thay tọa độ 4 điểm vào phương trình mặt cầu tổng quát:

• Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu tổng quát:$x^2 + y^2 + z^2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0$
• Bước 2: Thay lần lượt tọa độ của$A, B, C, D$vào phương trình trên, được một hệ 4 phương trình với 4 ẩn$A, B, C, D$.
• Bước 3: Giải hệ trên để tìm$A, B, C, D$.
• Bước 4: Viết lại phương trình mặt cầu với$A, B, C, D$vừa tìm được.

4. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ: Cho bốn điểm$A(1, 2, 1)$,$B(2, 1, 2)$,$C(2, 2, 3)$,$D(3, 2, 1)$. Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm này.

• Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu:$x^2 + y^2 + z^2 + 2A x + 2B y + 2C z + D = 0$
• Bước 2: Thay tọa độ 4 điểm vào phương trình:

Điểm$A(1, 2, 1)$:$1^2 + 2^2 + 1^2 + 2A \t \times 1 + 2B imes 2 + 2C imes 1 + D = 0$

$\Rightarrow 1 + 4 + 1 + 2A + 4B + 2C + D = 0$

$\Rightarrow 6 + 2A + 4B + 2C + D = 0$

Làm tương tự cho các điểm còn lại:

$B(2, 1, 2): 4 + 1 + 4 + 2A \t \times 2 + 2B imes 1 + 2C imes 2 + D = 0$

$\Rightarrow 9 + 4A + 2B + 4C + D = 0$

$C(2, 2, 3): 4 + 4 + 9 + 2A \times 2 + 2B \times 2 + 2C \times 3 + D = 0$

$\Rightarrow 17 + 4A + 4B + 6C + D = 0$

$D(3, 2, 1): 9 + 4 + 1 + 2A \times 3 + 2B \times 2 + 2C \times 1 + D = 0$

$\Rightarrow 14 + 6A + 4B + 2C + D = 0$

Ta có hệ 4 phương trình:

Giải hệ phương trình trên (học sinh có thể giải bằng phương pháp thế hoặc Crammer):

$A = -1,\B = -2,\C = -1,\D = 12$

Vậy phương trình mặt cầu là:

x^2 + y^2 +$z^2 - 2x - 4y - 2z + 12$= 0

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu bốn điểm đồng phẳng, không tồn tại mặt cầu duy nhất đi qua bốn điểm này.
• Nếu ba trong số bốn điểm trùng nhau hoặc có hai điểm trùng nhau thì phương pháp này không áp dụng.
• Nếu có ba điểm thẳng hàng, các hệ số của hệ có thể gây vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phương trình mặt cầu qua bốn điểm đặc biệt liên quan chặt chẽ tới kiến thức về hệ tọa độ, giải hệ phương trình tuyến tính, mặt phẳng, đường thẳng và ý niệm đồng phẳng, đồng quy trong hình học không gian. Đồng thời, đây cũng là ví dụ điển hình trong việc giải quyết các bài toán dựng hình bằng phương pháp tọa độ.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho bốn điểm$A(0, 0, 0)$,$B(1, 0, 0)$,$C(0, 1, 0)$,$D(0, 0, 1)$. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm này.

Lời giải:

• Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu:$x^2 + y^2 + z^2 + 2A x + 2B y + 2C z + D = 0$
• Bước 2: Thay từng điểm vào:

$A(0,0,0): 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = 0$

$B(1,0,0): 1 + 0 + 0 + 2A + 0 + 0 + 0 = 0 \Rightarrow 1 + 2A = 0 \Rightarrow A = -\frac{1}{2}$

$C(0,1,0): 1 + 0 + 0 + 0 + 2B + 0 + 0 = 0 \Rightarrow 1 + 2B = 0 \Rightarrow B = -\frac{1}{2}$

$D(0,0,1): 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2C + 0 = 0 \Rightarrow 1 + 2C = 0 \Rightarrow C = -\frac{1}{2}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

x^2 + y^2 + z^2 - x - y - z = 0

Bài tập 2: Cho bốn điểm$A(1, 0, 0)$,$B(0, 1, 0)$,$C(0, 0, 1)$,$D(1, 1, 1)$. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm này. (Tự giải, làm tương tự bài tập 1)

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên kiểm tra điều kiện bốn điểm không đồng phẳng
• Quên khai triển đúng phương trình mặt cầu (nhầm dấu!)
• Giải hệ và tính toán nhầm hệ số
• Nhầm lẫn khi thay tọa độ điểm vào phương trình

9. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Phương trình mặt cầu qua 4 điểm không đồng phẳng được xác định duy nhất.
• Dạng tổng quát:$x^2 + y^2 + z^2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0$.
• Cần lập hệ phương trình bằng cách thay 4 điểm vào và giải hệ để tìm$A, B, C, D$.
• Luôn kiểm tra điều kiện không đồng phẳng của 4 điểm trước khi giải.
• Có thể áp dụng kiến thức về giải hệ phương trình tuyến tính để tính nhanh hệ số.