Bài 3. Phương trình mặt cầu: Lý thuyết, ví dụ và cách vận dụng cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về "Phương trình mặt cầu" và tầm quan trọng của nó

Trong chương trình toán học lớp 12, nhất là phần hình học không gian, "phương trình mặt cầu" là một khái niệm cực kỳ quan trọng. Việc hiểu rõ phương trình mặt cầu không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán về mặt cầu, mà còn đóng vai trò nền tảng cho các kiến thức sau này về hình học không gian, giải tích và ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật. Nhận biết và áp dụng điêu luyện phương trình mặt cầu giúp bạn tư duy tốt về không gian ba chiều và các bài toán tọa độ Oxyz.

2. Định nghĩa chính xác về phương trình mặt cầu

Mặt cầu trong không gian Oxyz là tập hợp tất cả những điểm M$(x, y, z)$cách 1 điểm cố định I$(a, b, c)$một khoảng không đổi$R > 0$. Khi đó, điểm I gọi là tâm mặt cầu và R gọi là bán kính mặt cầu.

Phương trình mặt cầu tâm$I(a, b, c)$, bán kính$R$trong hệ tọa độ Oxyz có dạng:

$(x - a)$^2 +$(y - b)$^2 +$(z - c)$^2 = R^2

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử có mặt cầu tâm$I(1,2,3)$bán kính$4$.

Phương trình mặt cầu sẽ là:

$(x-1)$^2 +$(y-2)$^2 +$(z-3)$^2 = 16

Ta phân tích từng thành phần:

• $(x-1)$,$(y-2)$,$(z-3)$: Khoảng cách giữa một điểm bất kỳ $M(x, y, z)$với tâm$I(1, 2, 3)$.
• $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2$: Bình phương khoảng cách từ $M$ đến$I$.
• =$16$: Bình phương bán kính.

Tóm lại: Bất kỳ điểm$M(x,y,z)$nào thỏa mãn phương trình trên đều nằm trên mặt cầu có tâm$I(1,2,3)$, bán kính$4$.

4. Các trường hợp đặc biệt & lưu ý khi áp dụng phương trình mặt cầu

• Bán kính$R>0$: Phương trình mới biểu diễn mặt cầu thực sự;$R=0$thì chỉ là một điểm duy nhất - tâm cầu.
• Nếu phương trình được viết dưới dạng tổng quát:$x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$Hãy tìm cách đưa về dạng chuẩn để dễ xác định tâm và bán kính.
• Nếu$d + a^2 + b^2 + c^2 < 0$, bán kính sẽ không xác định; Do đó, chỉ lấy trường hợp hợp lý với bài toán thực tế.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phương trình mặt cầu có liên hệ trực tiếp với các kiến thức về:
- Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian
- Phương trình mặt phẳng, đường thẳng (dùng để xác định giao tuyến, tiếp điểm, v.v.)
- Bài toán hình chóp, hình nón, giao mặt cầu với các đối tượng hình học khác - Đại số: Kỹ thuật hoàn thành bình phương để chuyển từ dạng tổng quát về dạng chuẩn mặt cầu.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu tâm$A(3,-1,2)$, bán kính$5$.

Lời giải: Áp dụng công thức chuẩn:

$(x-3)$^2 +$(y + 1)$^2 +$(z-2)$^2 = 25

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu đi qua 2 điểm$P(1,2,3)$và $Q(4,6,3)$, có tâm$I(2,4,3)$.

Lời giải:
- Tính bán kính: $R = IP = IQ = \sqrt{(1-2)^2 + (2-4)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5}$.
- Viết phương trình mặt cầu:

$(x-2)$^2 +$(y-4)$^2 +$(z-3)$^2 = 5

Ví dụ 3: Cho phương trình$x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 6y + 2z - 11 = 0$. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu.

Lời giải:
- Đưa về dạng chuẩn bằng cách hoàn tất bình phương:
-$x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4$
-$y^2 - 6y = (y-3)^2 - 9$
-$z^2 + 2z = (z+1)^2 - 1$
- Thay vào, ta có:
$(x+2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 + (z+1)^2 - 1 - 11 = 0$
$ightarrow (x+2)^2 + (y-3)^2 + (z+1)^2 = 25$
- Vậy tâm$I(-2, 3, -1)$và bán kính$R = 5$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Sai sót khi hoàn tất bình phương để đưa về dạng chuẩn, dẫn tới xác định sai tâm và bán kính.
  - Mẹo: Viết rõ từng bước hoàn thành bình phương.
• Nhầm lẫn giữa bán kính$R$và $R^2$trong phương trình.
• Quên dấu trừ khi tìm tâm mặt cầu (dạng tổng quát: để ý dấu của hệ số).
• Khi điểm không thuộc mặt cầu: Đặt tọa độ điểm vào phương trình, phải kiểm tra xem có đúng bằng$R^2$không.

8. Tóm tắt, điểm chính cần nhớ về phương trình mặt cầu

• Phương trình mặt cầu dạng chuẩn:$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$với$(a, b, c)$là tâm,$R$là bán kính.
• Dạng tổng quát:$x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$; Hoàn thành bình phương để xác định tâm và bán kính.
• Bài toán mặt cầu liên quan đến khoảng cách, giao điểm, tiếp xúc, tiếp tuyến,...
• Luôn kiểm tra$R>0$; Khi bài toán cho phương trình nhưng$R^2<0$, không tồn tại mặt cầu thực.

Hy vọng bài viết đã giúp các bạn hiểu rõ và nắm chắc kiến thức về "Bài 3. Phương trình mặt cầu" trong chương trình toán 12. Việc luyện tập kỹ năng xử lý phương trình mặt cầu sẽ giúp các bạn tự tin chinh phục các bài toán hình học không gian và nâng cao năng lực tư duy hình học không gian ba chiều.