Phương trình mặt phẳng qua ba điểm – Giải thích chi tiết dành cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về phương trình mặt phẳng qua ba điểm và tầm quan trọng

Trong chương trình toán học lớp 12, chủ đề hình học không gian là một phần không thể thiếu, giúp học sinh hiểu và mô tả được các đối tượng, mối quan hệ trong không gian ba chiều. Một trong những vấn đề căn bản là cách xác định mặt phẳng dựa vào các yếu tố như điểm, đường, v.v. Đặc biệt, "phương trình mặt phẳng qua ba điểm" là cách xác định mặt phẳng dựa vào ba điểm không thẳng hàng – một kiến thức nền tảng quan trọng không chỉ trong toán học THPT mà còn ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật, vật lý, kiến trúc... Hiểu rõ khái niệm này giúp các em phát triển tư duy không gian, luyện kỹ năng phân tích – giải quyết vấn đề trong cả kiểm tra thường xuyên lẫn thi THPT quốc gia.

2. Định nghĩa chính xác về phương trình mặt phẳng qua ba điểm

Phương trình mặt phẳng qua ba điểm là phương trình xác định mặt phẳng duy nhất đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng trong không gian ba chiều. Nếu gọi ba điểm đó là $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,$C(x_3, y_3, z_3)$thì mặt phẳng$(P)$ đi qua$A$,$B$,$C$có phương trình dạng tổng quát:

với$(a, b, c)$là các hệ số xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Ba điểm$A$,$B$,$C$thuộc mặt phẳng nghĩa là tỏa mãn phương trình này.

3. Giải thích từng bước và ví dụ minh họa

Để xác định phương trình mặt phẳng qua ba điểm$A$,$B$,$C$, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng, thường lấy hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$:

• Bước 2: Tính tích có hướng của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến$\vec{n}$của mặt phẳng:

Cho$\overrightarrow{AB} = (u_1, u_2, u_3)$,$\overrightarrow{AC} = (v_1, v_2, v_3)$, khi đó:

• Bước 3: Lập phương trình mặt phẳng qua điểm$A(x_1, y_1, z_1)$có vectơ pháp tuyến$\vec{n} = (a, b, c)$:

• Bước 4: Khai triển phương trình hoặc chuyển về dạng tổng quát$ax + by + cz + d = 0$.

Ví dụ minh họa: Cho ba điểm$A(1, 0, 2)$,$B(2, -1, 1)$,$C(0, 1, 3)$.

Bước 1:$\overrightarrow{AB} = (2-1,\ -1-0,\ 1-2) = (1, -1, -1)\overrightarrow{AC} = (0-1,\ 1-0,\ 3-2) = (-1, 1, 1)$

Bước 2: Tích có hướng:$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$

Cách thực hiện:

$a = (-1) \cdot 1 - ( -1) \cdot 1 = -1 + 1 = 0$

$b = -[1 \cdot 1 - ( -1) \cdot 1 ] = -[1 + 1] = -2$

$c = 1 \cdot 1 - ( -1) \cdot ( -1) = 1 - 1 = 0$

Vậy$\vec{n} = (0, -2, 0)$.

Nhận thấy kết quả này,$\vec{n}$chỉ khác 0 về hoành độ $b$, tức mặt phẳng vuông góc trục$Oy$. (Lưu ý: Các trường hợp cho ra$\vec{n} = (0,0,0)$là do 3 điểm thẳng hàng, sẽ trình bày bên dưới.)

Bước 3: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm$A(1,0,2)$với$\vec{n} = (0, -2, 0)$

$0\big(x-1\big) -2\big(y-0\big)+0\big(z-2\big)=0\implies y = 0$

Tức mặt phẳng vừa tìm chính là mặt phẳng$y = 0$(chứa trục$Ox$và $Oz$và qua cả 3 điểm đã chọn).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Liên hệ với vectơ pháp tuyến: Phương trình mặt phẳng tổng quát$ax + by + cz + d = 0$có vectơ pháp tuyến là $(a, b, c)$. Việc sử dụng tích có hướng giúp xác định được vectơ pháp tuyến khi biết các điểm thuộc mặt phẳng.
- Liên hệ với phương trình đường thẳng: Nếu biết hai điểm xác định đường thẳng, biết thêm điểm thứ ba sẽ tạo được mặt phẳng chứa đường thẳng và điểm này.
- Ứng dụng: Kỹ năng này xuất hiện thường xuyên trong các bài toán lập phương trình hình học không gian, giải bài toán giao tuyến hai mặt phẳng, xác định góc, xác định các vị trí tương đối,…

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

!Bài tập 1: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm$A(1, 2, 3)$,$B(2, 3, 5)$,$C(3, 4, 7)$.

Lời giải:$\overrightarrow{AB} = (1, 1, 2)$;$\overrightarrow{AC} = (2, 2, 4)$Tích có hướng:$a = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0b = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = 4 - 4 = 0c = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 2 - 2 = 0$Tích có hướng là $\vec{0}$, ba điểm thẳng hàng, không xác định được mặt phẳng duy nhất.

!Bài tập 2: Tìm phương trình mặt phẳng qua các điểm$A(1, 2, 3)$,$B(0, -1, 2)$,$C(2, 0, -1)$.

Lời giải:

$\overrightarrow{AB} = (-1, -3, -1)$;$\overrightarrow{AC} = (1, -2, -4)$

Tích có hướng:

a =$|-3 \cdot -4 - (-1) \cdot -2| = 12 - 2 = 10$
b =$- [ -1 \cdot -4 - (-1) \cdot 1 ] = - [4 - (-1)] = -5$
c =$-1 \cdot -2 - ( -3) \cdot 1 = 2 - ( -3 ) = 5$

Vậy$\vec{n} = (10, -5, 5)$

Phương trình mặt phẳng qua$A(1,2,3)$:

$10(x-1) -5(y-2) + 5(z-3) = 0$

Khai triển:

$10x -10 -5y +10 + 5z -15 = 0$

$10x -5y +5z -15 = 0$

Có thể rút gọn chia cả hai vế cho$5$:

$2x - y + z - 3 = 0$

Vậy phương trình cần tìm là $2x - y + z - 3 = 0$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Phương trình mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất mặt phẳng đó.
• Phải sử dụng tích có hướng hai vectơ chỉ phương để tìm vectơ pháp tuyến.
• Luôn kiểm tra ba điểm đã cho có thẳng hàng không.
• Sau khi tính xong, chuyển phương trình về dạng tổng quát, đơn giản.
• Kỹ năng xác định mặt phẳng qua ba điểm giúp giải quyết nhiều dạng bài trong hình học không gian lớp 12.