Phương trình mặt phẳng qua ba điểm: Kiến thức cơ bản và hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

Tách chi tiết từng thành phần:

Dùng$A(1,2,3)$lập phương trình mặt phẳng:

Rút gọn ta được:$y-2 = z-3$hay$y - z = -1$

Đó là phương trình mặt phẳng cần tìm.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

• Ba điểm thẳng hàng: Không xác định được mặt phẳng duy nhất. Khi tính$\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$ đồng phương sẽ không có tích có hướng khác vector không.
• Các hệ số pháp tuyến đều bằng 0: Cần kiểm tra lại quá trình tính toán, rất có thể ba điểm thẳng hàng hoặc sai bước tính tích có hướng.

Lưu ý: Có thể chọn bất kỳ điểm nào trong ba điểm làm điểm thay vào công thức phương trình mặt phẳng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phương pháp xác định phương trình mặt phẳng qua ba điểm liên quan chặt chẽ đến việc xác định vector pháp tuyến (dùng trong các bài toán vuông góc, song song giữa hai mặt phẳng), tích có hướng của hai vector (của bài toán hình học không gian), tương tác giữa đường thẳng và mặt phẳng cũng như ứng dụng trong các bài toán hình học giải tích tổng hợp.

6. Bài tập mẫu (có lời giải chi tiết)

Bài 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm$A(0,1,2)$,$B(1,0,1)$,$C(2,1,0)$.

Giải:

• Tính$\overrightarrow{AB} = (1, -1, -1)$;$\overrightarrow{AC} = (2, 0, -2)$
• Tính$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = ( (-1) \times (-2) - (-1) \times 0, - [1 \times (-2) - (-1) \times 2], 1 \times 0 - (-1) \times 2 ) = (2-0, -(-2+2), 0-(-2)) = (2, 0, 2)$
• Dùng điểm$A$, phương trình mặt phẳng là $2(x-0) + 0(y-1) + 2(z-2) = 0 \Rightarrow x + z = 2$

Bài 2: Cho ba điểm$A(1,0,0)$,$B(0,1,0)$,$C(0,0,1)$. Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm ấy.

Giải:
$\overrightarrow{AB} = (-1, 1, 0)$;
$\overrightarrow{AC} = (-1, 0, 1)$

Tích có hướng$\overrightarrow{n} = (1, 1, 1)$

Dùng$A$, phương trình mặt phẳng là:$(x-1)+(y-0)+(z-0)=0 \Leftrightarrow x+y+z=1$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm thứ tự tính vector: Khi tính$\overrightarrow{AB} = B - A$, cần chú ý thứ tự điểm.
• Ba điểm thẳng hàng: Nếu$\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$ đồng phương, không xác định được mặt phẳng duy nhất.
• Nhập sai dấu khi tính tích có hướng hoặc dựng phương trình.
• Không đơn giản hóa phương trình (có thể rút gọn các hệ số).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Phương trình mặt phẳng qua ba điểm được xác định duy nhất khi ba điểm không thẳng hàng.
• Các bước chính: tìm hai vector, tính vector pháp tuyến, lập phương trình mặt phẳng.
• Kiểm tra ba điểm có thẳng hàng không trước khi lập phương trình.
• Phương trình mặt phẳng là công cụ quan trọng, hỗ trợ giải các bài toán hình học không gian.

Luyện tập thường xuyên và chú ý các bước tính toán sẽ giúp các bạn thành thạo dạng bài này và vững vàng hơn trong các bài toán hình học không gian lớp 12!