1. Giới thiệu về Q1, Q3, IQR và tầm quan trọng

Trong chương trình toán lớp 12, đặc biệt trong phân môn Thống kê và Xác suất, các khái niệm về Q1 (tứ phân vị thứ nhất), Q3 (tứ phân vị thứ ba) và IQR (Khoảng tứ phân vị) giữ vai trò rất quan trọng. Đây là những khái niệm nền tảng để mô tả sự phân bố của dữ liệu, hỗ trợ việc phân tích độ phân tán và phát hiện giá trị ngoại lai. Việc hiểu và vận dụng thành thạo các khái niệm này không chỉ giúp học sinh làm tốt các bài tập trong sách giáo khoa mà còn có ý nghĩa thực tiễn lớn trong học tập, nghiên cứu cũng như giải quyết các vấn đề thực tế liên quan đến dữ liệu.

2. Định nghĩa chính xác Q1, Q3, IQR

• Q1 (Tứ phân vị thứ nhất): Là giá trị mà tại đó 25% số liệu nhỏ hơn nó và 75% số liệu lớn hơn hoặc bằng nó trong một tập dữ liệu được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

• Q3 (Tứ phân vị thứ ba): Là giá trị mà tại đó 75% số liệu nhỏ hơn nó và 25% số liệu lớn hơn hoặc bằng nó trong tập dữ liệu đã sắp xếp.

• IQR (Khoảng tứ phân vị): Là hiệu số giữa Q3 và Q1, ký hiệu: IQR = Q3 - Q1. Đây là một thước đo quan trọng về độ phân tán (mức độ 'rải rác') của dữ liệu xoay quanh trung vị.

3. Hướng dẫn tìm Q1, Q3, IQR với ví dụ minh họa

Bước 1: Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần.

Bước 2: Tìm trung vị (Q2, Median) nếu cần.

Bước 3: Chia tập dữ liệu thành hai nửa từ trung vị. Q1 là trung vị của nửa dưới, Q3 là trung vị của nửa trên.

Bước 4: Tính IQR bằng hiệu số Q3 - Q1.

Ví dụ 1: Cho dãy số: 3, 5, 7, 8, 10, 12, 15, 18, 20

- Dữ liệu đã sắp xếp tăng dần.

- Số lượng phần tử:$n = 9$(lẻ).

- Trung vị (Q2): Là phần tử ở vị trí thứ $\frac{n+1}{2} = 5$, tức là 10.

- Nửa dưới: 3, 5, 7, 8 (4 số); Trung vị của nửa dưới là $\frac{5 + 7}{2} = 6$(Q1)

- Nửa trên: 12, 15, 18, 20 (4 số); Trung vị của nửa trên là $\frac{15 + 18}{2} = 16.5$(Q3)

- IQR = Q3 - Q1 =$16.5 - 6 = 10.5$

Ví dụ 2: Dữ liệu có số lượng phần tử chẵn (8 số): 2, 4, 7, 9, 10, 13, 15, 18

- Trung vị (Q2):$\frac{9 + 10}{2} = 9.5$

- Nửa dưới: 2, 4, 7, 9; Trung vị là $\frac{4 + 7}{2} = 5.5$(Q1)

- Nửa trên: 10, 13, 15, 18; Trung vị là $\frac{13 + 15}{2} = 14$(Q3)

- IQR = Q3 - Q1 =$14 - 5.5 = 8.5$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Q1, Q3 và IQR là các đại lượng mô tả thống kê, đặc biệt có liên quan mật thiết đến Median (trung vị), Mean (trung bình cộng) và Variance/Standard deviation (phương sai/độ lệch chuẩn).

• IQR là thước đo độ phân tán ít nhạy cảm với giá trị ngoại lai hơn phương sai hay độ lệch chuẩn, do chỉ xét đến 50% dữ liệu nằm giữa (từ Q1 đến Q3).

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Tìm Q1, Q3, IQR của dãy số: 4, 8, 12, 16, 18, 20, 22, 24, 28.

Giải:

Bài 2: Tập hợp dữ liệu (6 số): 11, 13, 15, 18, 21, 26.

Giải:

7. Những lỗi thường gặp khi tính Q1, Q3, IQR và cách tránh

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ