Q1, Q3, IQR: Khái niệm, Ý nghĩa và Cách tính chi tiết trong Toán lớp 12

1. Giới thiệu về Q1, Q3, IQR và tầm quan trọng trong Toán học

Trong thống kê và xác suất, việc phân tích và tổng kết số liệu là vô cùng quan trọng. Các khái niệm như trung bình, trung vị và mode giúp tóm tắt tập dữ liệu. Tuy nhiên, chúng chưa thể hiện hết mức độ phân tán của số liệu. Đây là lý do các khái niệm Q1, Q3 và IQR ra đời để bổ sung cho các phép đo vị trí bằng cách cung cấp thông tin về sự phân tán, độ lệch của mẫu số liệu. Đặc biệt với học sinh lớp 12, hiểu và vận dụng đúng Q1, Q3, IQR sẽ giúp các em giải quyết tốt các bài tập thống kê, chuẩn bị cho các kỳ thi THPT Quốc gia và ứng dụng tốt trong thực tiễn.

2. Định nghĩa Q1, Q3, IQR

• Q1 (Quartile thứ nhất) – Tứ phân vị thứ nhất:

Q1 là giá trị chia tập hợp dữ liệu thành hai phần, 25% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q1. Nói cách khác, Q1 là tứ phân vị thứ nhất.

• Q3 (Quartile thứ ba) – Tứ phân vị thứ ba:

Q3 là giá trị mà tại đó 75% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q3. Tức là, 25% số liệu lớn hơn hoặc bằng Q3.

• IQR (Interquartile Range) – Khoảng tứ phân vị:

IQR là khoảng cách giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, ký hiệu là:IQR = Q_3 - Q_1

3. Hướng dẫn từng bước tính Q1, Q3 và IQR với ví dụ minh họa

Giả sử có một dãy số liệu: 4, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21, 22

Số phần tử $n = 9$(lẻ), trung vị là phần tử thứ $5$:

Trung vị: 13

• Bước 3: Xác định Q1 và Q3

• Q1 là trung vị của phần nhỏ hơn (không bao gồm trung vị nếu$n$lẻ):

Dãy nhỏ hơn: 4, 7, 8, 12. Q1 là trung vị 7 và 8:$\displaystyle Q_1 = \frac{7 + 8}{2} = 7,5$

• Q3 là trung vị của phần lớn hơn:

Dãy lớn hơn: 14, 18, 21, 22. Q3 là trung vị của 18 và 21:$\displaystyle Q_3 = \frac{18 + 21}{2} = 19,5$

• Bước 4: Tính IQR

IQR = Q_3 - Q_1 = 19,5 - 7,5 = 12

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Nếu có bảng tần số với các lớp, Q1 và Q3 được tính như sau:
$Q_1 = L_1 + \frac{\frac{n}{4} - F_1}{f_1} \times w$
$Q_3 = L_3 + \frac{\frac{3n}{4} - F_3}{f_3} \times w$

Trong đó:
-$L_1, L_3$: Giới hạn dưới của lớp chứa Q1, Q3
-$F_1, F_3$: Tần số tích lũy trước lớp chứa Q1, Q3
-$f_1, f_3$: Tần số lớp chứa Q1, Q3
-$w$: Độ rộng lớp
-$n$: Tổng số phần tử

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Q1, Q3 và IQR cho thấy mức độ phân tán của số liệu và mối quan hệ giữa các giá trị trung tâm (trung vị) với sự biến thiên của dữ liệu. IQR đo lường phạm vi "giữa" của tập số liệu mà không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lai, giúp phân biệt với phương sai hay độ lệch chuẩn (đều bị ảnh hưởng mạnh bởi các giá trị lớn bất thường).

Ngoài ra, Q1, Q3, IQR còn liên hệ với boxplot (biểu đồ hộp), giúp trực quan hóa dữ liệu.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho dãy số liệu: 11, 14, 17, 19, 22, 23, 25, 29

Giải:
Số phần tử $n = 8$(chẵn), trung vị là trung bình của phần tử thứ 4 và 5:
$Median = \frac{19 + 22}{2} = 20,5$
Chia làm 2 nửa:
• Nửa nhỏ hơn: 11, 14, 17, 19
Q1 là trung bình của 14 và 17:$\displaystyle Q_1 = \frac{14 + 17}{2} = 15,5$
• Nửa lớn hơn: 22, 23, 25, 29
Q3 là trung bình của 23 và 25:$\displaystyle Q_3 = \frac{23 + 25}{2} = 24$
IQR:$\displaystyle IQR = 24 - 15,5 = 8,5$

Ngoại lệ là các giá trị nhỏ hơn$Q_1 - 1,5 \times IQR = 15,5 - 1,5 \times 8,5 = 2,75$hoặc lớn hơn$Q_3 + 1,5 \times IQR = 24 + 1,5 \times 8,5 = 36,75$. Dãy hoàn toàn nằm trong khoảng này nên không có giá trị ngoại lệ.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và điểm cần nhớ

• Q1 và Q3 là các vị trí chia dãy số liệu thành bốn phần bằng nhau. IQR cho biết mức độ phân tán của 50% số liệu giữa. • Phải sắp xếp số liệu trước khi tính. • Xác định đúng cách chia nhóm tuỳ thuộc số phần tử lẻ hay chẵn. • IQR không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lai nên rất hữu ích khi phân tích dữ liệu thực nghiệm.