Blog

Lớp 12

Q1, Q3, IQR: Khái Niệm, Ý Nghĩa và Cách Tính Toán Chi Tiết (Toán 12)

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu về Q1, Q3 và IQR – Ý nghĩa trong Toán học lớp 12

Trong thống kê, việc hiểu và mô tả sự phân bố của một bộ số liệu là rất quan trọng. Khi học đến chương trình Toán lớp 12, các bạn sẽ gặp các khái niệm phân vị, trong đó nổi bật là Q1 (phân vị thứ nhất), Q3 (phân vị thứ ba) và IQR (khoảng tứ phân vị). Những khái niệm này giúp chúng ta tóm tắt, mô tả dữ liệu và nhận diện dữ liệu ngoại lai (outlier) một cách hiệu quả. Đặc biệt, IQR được sử dụng rất nhiều trong xét độ phân tán của dữ liệu và kiểm tra sự bất thường của mẫu số liệu thực tế.

2. Định nghĩa Q1, Q3, IQR – Chính xác và Dễ Hiểu

• Q1 (First Quartile – tứ phân vị thứ nhất): là giá trị chia bộ dữ liệu thành hai phần, sao cho 25% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng giá trị này.
• Q3 (Third Quartile – tứ phân vị thứ ba): là giá trị chia bộ dữ liệu thành hai phần, sao cho 75% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng giá trị này.
• IQR (Interquartile Range – khoảng tứ phân vị): là hiệu số giữa Q3 và Q1, thể hiện mức độ phân tán của giá trị trung tâm trong tập dữ liệu.

Công thức toán học tổng quát:

IQR=Q3−Q1IQR = Q_3 - Q_1

3. Hướng dẫn chi tiết cách xác định Q1, Q3, IQR – Có ví dụ minh họa

Bước 1: Sắp xếp các giá trị theo thứ tự tăng dần.

Bước 2: Xác định vị trí Q1, Q3.

- Với bộ số liệu có n phần tử, ta dùng công thức vị trí phân vị:

- Nếu vị trí phân vị là số nguyên, lấy luôn giá trị ở vị trí đó.

- Nếu là số thập phân, lấy trung bình cộng hai giá trị gần vị trí đó nhất.

Ví dụ minh họa:
Cho dãy số liệu: 3, 6, 7, 8, 12, 14, 18, 21, 23, 27, 30
• N = 11
• Xác định Q1, Q3, IQR.
Ta có:
=> Giá trị Q1 là số ở vị trí thứ 3 (số 7).
=> Giá trị Q3 là số ở vị trí thứ 9 (số 23).
Vậy Q1 = 7, Q3 = 23, IQR = 16.

4. Các lưu ý, trường hợp đặc biệt khi tính Q1, Q3, IQR

  • Nếu số phần tử chẵn: Vị trí Q1 và Q3 nhiều khi rơi vào nửa số, cần lấy trung bình cộng của hai giá trị liền kề.
  • Nếu bộ số liệu có nhiều phần tử giống nhau, vẫn áp dụng quy tắc xác định vị trí rồi lấy giá trị đúng thứ tự.
  • Ở dạng bảng tần số (dữ liệu nhóm), sử dụng công thức nội suy để xác định Q1, Q3.

    • 5. Liên hệ Q1, Q3, IQR với các khái niệm toán học khác

    • Q1, Q3 và IQR rất quan trọng trong các bài toán xác suất – thống kê vì giúp tóm tắt mức độ phân tán, nhận diện số liệu ngoại lai (outlier), và so sánh sự biến động giữa các bộ dữ liệu.
    • Chúng có mối liên hệ mật thiết với các đại lượng như trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn, đặc biệt trong việc đánh giá độ lệch của bộ số liệu.
    • Trong vẽ biểu đồ hộp (boxplot), Q1 và Q3 xác định chiều dài hộp, còn IQR dùng định nghĩa phần tử ngoại lai.

    6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

    Hình minh họa: Hộp sơ đồ (boxplot) của dãy số liệu [3, 6, 7, 8, 12, 14, 18, 21, 23, 27, 30] minh họa Q1 = 7, Q3 = 23 và khoảng tứ phân vị IQR = 16
    Hộp sơ đồ (boxplot) của dãy số liệu [3, 6, 7, 8, 12, 14, 18, 21, 23, 27, 30] minh họa Q1 = 7, Q3 = 23 và khoảng tứ phân vị IQR = 16
    Bài tập 1: Cho dãy số liệu: 4, 5, 7, 10, 12, 13, 14, 17
    Tìm Q1, Q3, IQR.
  • Sắp xếp: 4, 5, 7, 10, 12, 13, 14, 17 (đã tăng dần).
  • n = 8, vị trí Q1 =8+14=2.25\frac{8+1}{4} = 2.25⇒ Q1 nằm giữa phần tử thứ 2 và thứ 3:
  • Q1 = 5 + 0.25 × (7-5) = 5 + 0.5 = 5.5
  • Vị trí Q3 =3×94=6.75\frac{3 \times 9}{4} = 6.75. Q3 nằm giữa phần tử thứ 6 và thứ 7:
  • Q3 = 13 + 0.75 × (14-13) = 13 + 0.75 = 13.75
  • IQR = 13.75 – 5.5 = 8.25.
    • Bài tập 2: Cho bảng tần số nhóm sau:
    | Lớp
    Tần số
    0-10
    4 |
    | 10-20 | 8 |
    | 20-30 | 10 |
    | 30-40 | 3 |
    Hãy tính Q1, Q3, IQR.
    Tổng số phần tử:N=4+8+10+3=25N = 4+8+10+3 = 25
    Vị trí Q1:254=6.25\frac{25}{4}=6.25(phần tử thứ 7; nằm ở lớp 10-20)
    Tính bằng công thức nội suy với nhóm 10-20:

    Q1=L+(N4−Ff)×wQ1 = L + \left(\frac{\frac{N}{4} - F}{f}\right) \times w
    Trong đó:
    - L = 10 (cận dưới lớp chứa Q1)
    - F = 4 (tích lũy đến trước lớp này)
    - f = 8 (tần số lớp này)
    - w = 10 (độ dài lớp)

    Q1=10+6.25−48×10=10+2.258×10=12.81Q1 = 10 + \frac{6.25 - 4}{8} \times 10 = 10 + \frac{2.25}{8} \times 10 = 12.81
    Tương tự:
    Vị trí Q3:3×254=18.75\frac{3 \times 25}{4}=18.75(phần tử thứ 19; thuộc nhóm 20-30)
    - L = 20, F = 12 (tích lũy đến trước lớp này), f = 10
    Q3=20+18.75−1210×10=20+6.75=26.75Q3 = 20 + \frac{18.75-12}{10} \times 10 = 20 + 6.75 = 26.75

    IQR=26.75−12.81=13.94IQR = 26.75 - 12.81 = 13.94

    7. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Không xếp số liệu theo thứ tự tăng dần trước khi tính.
  • Xác định sai vị trí Q1, Q3 (quên cộng thêm 1 trong công thức vị trí).
  • Sai sót khi thực hiện phép nội suy trong số liệu nhóm.
  • Nhầm lẫn giữa Q1, Q3 với phần ba nhỏ nhất, lớn nhất.

    • 8. Tóm tắt và những điểm cần nhớ về Q1, Q3, IQR

    • Q1, Q3, IQR giúp tóm tắt, so sánh và đánh giá sự phân tán dữ liệu hiệu quả.
    • Luôn sắp xếp dữ liệu rồi mới tính.
    • Cẩn thận trong xác định vị trí và thực hiện phép tính đặc biệt là dữ liệu ghép nhóm.
    • IQR là công cụ mạnh để tìm outlier (dữ liệu bất thường).
    • Nếu hiểu chắc Q1, Q3, IQR, bạn sẽ giải quyết dễ dàng các bài toán thực tiễn và học tốt thống kê xác suất.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".