Blog

Lớp 12

So sánh độ phân tán bằng độ lệch chuẩn – Giải thích chi tiết, ví dụ & bài tập cho lớp 12

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của độ phân tán trong toán học

Trong thống kê và xác suất, ngoài giá trị trung bình, việc so sánh độ phân tán của các dãy số liệu là kiến thức căn bản và rất quan trọng đối với học sinh lớp 12. Độ phân tán giúp mô tả mức độ các giá trị phân bố quanh trung tâm (trung bình) của dữ liệu. Khi so sánh các bộ số liệu khác nhau (ví dụ kết quả điểm thi của hai lớp), độ phân tán cho biết mức ổn định hay dao động của các giá trị, từ đó hỗ trợ trong đánh giá, lựa chọn hoặc ra quyết định. Một trong những công cụ mạnh mẽ nhất để đo và so sánh mức độ phân tán là độ lệch chuẩn.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng về độ lệch chuẩn & so sánh độ phân tán

- Độ lệch chuẩn (ký hiệu σ\sigmahoặcss) là một số đo phản ánh "độ lệch" trung bình của các giá trị dữ liệu so với giá trị trung bình của chúng.
- Độ lệch chuẩn càng lớn, các giá trị càng phân tán xa trung bình; độ lệch chuẩn càng nhỏ, các giá trị càng tập trung gần trung bình.

Công thức tính độ lệch chuẩn của một tập số liệu không ghép nhóm (dạng đơn):

s=1n∑i=1n(xi−x‾)2s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}

Trong đó:

  • nn: số phần tử trong mẫu dữ liệu
  • xix_i: giá trị từng phần tử
  • x‾\overline{x}: giá trị trung bình cộng của mẫu số liệu

Muốn so sánh mức độ phân tán của hai hay nhiều mẫu số liệu, ta chỉ cần so sánh các giá trị độ lệch chuẩn tương ứng: Mẫu nào có độ lệch chuẩn lớn hơn thì dữ liệu phân tán rộng hơn và ngược lại.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Xét hai lớp học A và B, điểm kiểm tra Toán của 5 học sinh như sau:
- Lớp A: 7, 8, 8, 9, 8
- Lớp B: 5, 7, 8, 10, 10
Ta sẽ tính và so sánh độ lệch chuẩn của hai lớp này.

Bước 1: Tính giá trị trung bình cộngx‾\overline{x}

Lớp A:x‾A=7+8+8+9+85=8\overline{x}_A = \frac{7+8+8+9+8}{5} = 8
Lớp B:x‾B=5+7+8+10+105=8\overline{x}_B = \frac{5+7+8+10+10}{5} = 8

Bước 2: Tínhsscho từng lớp

Lớp A:

∑(xi−x‾A)2=(7−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(8−8)2=1+0+0+1+0=2\sum (x_i - \overline{x}_A)^2 = (7-8)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (8-8)^2 = 1+0+0+1+0=2

sA=25≈0,632s_A = \sqrt{\frac{2}{5}} \approx 0,632

Lớp B:

∑(xi−x‾B)2=(5−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(10−8)2+(10−8)2=9+1+0+4+4=18\sum (x_i - \overline{x}_B)^2 = (5-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (10-8)^2 + (10-8)^2 = 9+1+0+4+4=18

sB=185≈1,897s_B = \sqrt{\frac{18}{5}} \approx 1,897

Như vậy, độ lệch chuẩn lớp B lớn hơn lớp A, tức là điểm của lớp B phân tán rộng hơn lớp A.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Độ lệch chuẩn chỉ có ý nghĩa so sánh khi các bộ số liệu cùng đơn vị đo và gần nhau về giá trị trung bình.
- Nếu hai dãy số liệu có giá trị trung bình khác biệt lớn, nên sử dụng hệ số biến thiên:
CV=sx‾×100%CV = \frac{s}{\overline{x}} \times 100\%
để so sánh mức phân tán tính theo tỉ lệ phần trăm.
- Độ lệch chuẩn luôn lớn hơn hoặc bằng 0.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Độ lệch chuẩn liên quan chặt chẽ với phương sai (variance) s2s^2, vì s=s2s = \sqrt{s^2}.
- Ngoài ra, còn có các số đo mức độ phân tán khác như khoảng biến thiên (range), tứ phân vị...
- Độ lệch chuẩn thường được dùng song song với trung bình cộng (mean) để đánh giá dữ liệu.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hai dãy số sau:
- Dãy 1: 4, 5, 6, 7
- Dãy 2: 2, 4, 6, 10
Hãy tính độ lệch chuẩn và so sánh độ phân tán.

Lời giải:

Dãy 1: x‾1=4+5+6+74=5,5\overline{x}_1 = \frac{4+5+6+7}{4} = 5,5
s1=(4−5,5)2+(5−5,5)2+(6−5,5)2+(7−5,5)24<br/>s_1 = \sqrt{\frac{(4-5,5)^2 + (5-5,5)^2 + (6-5,5)^2 + (7-5,5)^2}{4}} <br />= \sqrt{\frac{2,25+0,25+0,25+2,25}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = 1,118$

Dãy 2: x‾2=2+4+6+104=5,5\overline{x}_2 = \frac{2+4+6+10}{4} = 5,5
s2=(2−5,5)2+(4−5,5)2+(6−5,5)2+(10−5,5)24<br/>s_2 = \sqrt{\frac{(2-5,5)^2 + (4-5,5)^2 + (6-5,5)^2 + (10-5,5)^2}{4}} <br />= \sqrt{\frac{12,25+2,25+0,25+20,25}{4}} = \sqrt{\frac{35}{4}} = 2,958<br/>Vıˋ<br />Vìs_2 > s_1$, dãy 2 phân tán rộng hơn dãy 1.

Bài tập 2: Hai dãy a: 3, 4, 5 và b: 2, 4, 6 cùng có trung bình cộng là 4. Hãy giải thích tại sao độ lệch chuẩn của dãy b lớn hơn dãy a.

Lời giải:

Tính toán trực tiếp thấy các giá trị của dãy b xa trung bình cộng hơn so với dãy a, nên các bình phương độ lệch lớn hơn, kéo theo độ lệch chuẩnsslớn hơn.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Nhầm lẫn thứ tự phép tính, quên chia cho số phần tử khi tính trung bình hoặc độ lệch chuẩn.
  • Nhầm công thức giữa phương sai và độ lệch chuẩn (chưa lấy căn bậc hai).
  • So sánh các dãy dữ liệu có đơn vị đo khác nhau mà không chuẩn hóa (ví dụ: kg và g).
  • Sử dụng độ lệch chuẩn khi dữ liệu không đồng nhất về bản chất hoặc phân bố quá lệch.

8. Tóm tắt & Những điểm chính cần nhớ

- Độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của dữ liệu quanh trung bình cộng.
- So sánh độ lệch chuẩn cho biết dãy nào phân tán rộng hơn.
- Chỉ nên so sánh khi dữ liệu cùng đơn vị và có ý nghĩa so sánh trực tiếp.
- Để chính xác với dữ liệu khác đơn vị, nên chuyển sang hệ số biến thiên.
- Luôn kiểm tra kỹ công thức, thao tác tính toán và bản chất dữ liệu trước khi so sánh độ phân tán.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".