So sánh kết quả tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất giữa máy tính và đạo hàm

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng trong chương trình toán học lớp 12

Trong chương trình Toán lớp 12, việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số trên một đoạn hoặc một miền xác định là kiến thức trọng tâm và cực kỳ quan trọng. Đây là chủ đề thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia cũng như các kỳ thi học kỳ. Có hai phương pháp chủ yếu để giải quyết dạng toán này: sử dụng máy tính cầm tay (phương pháp số) và sử dụng đạo hàm (phương pháp giải tích). Việc so sánh kết quả tìm GTLN, GTNN giữa máy tính và đạo hàm giúp học sinh hiểu rõ tính chất, ưu nhược điểm từng phương pháp, qua đó vận dụng hiệu quả trong giải toán cũng như kiểm tra, đối chiếu kết quả.

2. Định nghĩa chi tiết: So sánh kết quả tìm GTLN, GTNN giữa máy tính và đạo hàm

- GTLN (Giá trị lớn nhất): Là giá trị lớn nhất mà hàm số đạt được trên một khoảng hoặc đoạn xác định.
- GTNN (Giá trị nhỏ nhất): Là giá trị nhỏ nhất mà hàm số đạt được trên một khoảng hoặc đoạn xác định.

Việc 'so sánh kết quả tìm GTLN, GTNN giữa máy tính và đạo hàm' là quá trình sử dụng cả hai công cụ (máy tính cầm tay và các nguyên lý giải tích như đạo hàm) để xác định, kiểm chứng kết quả GTLN, GTNN của hàm số trên miền xác định, từ đó lựa chọn phương pháp tối ưu hoặc phát hiện sai sót khi làm bài.

3. Hướng dẫn tìm GTLN, GTNN bằng đạo hàm và bằng máy tính – Ví dụ minh họa

a) Bằng đạo hàm (giải tích):

Giả sử cần tìm GTLN, GTNN của hàm số $f(x)$trên đoạn$[a,b]$. Các bước thực hiện:
1. Tính đạo hàm$f'(x)$.
2. Giải phương trình$f'(x)=0$ để tìm các điểm tới hạn (nghiệm nằm trên$[a,b]$).
3. Tính giá trị của$f(x)$tại các điểm$a$,$b$và các điểm tới hạn.
4. So sánh các giá trị để chọn GTLN, GTNN.

b) Bằng máy tính (phương pháp số):

- Sử dụng chức năng TABLE hoặc CALC trên các máy tính cầm tay (Casio fx-580VN X/fx-570VN PLUS...) để tính nhanh giá trị hàm số tại các điểm nghi ngờ trên$[a,b]$.
- Có thể kiểm tra trên lượng giá trị dày đặc quanh các điểm tới hạn hoặc tại rìa$a, b$nếu hàm số phức tạp.
- Đặc biệt hữu ích khi hàm số khó giải đạo hàm, hoặc có nghiệm không biểu diễn được.

Ví dụ minh họa:

Tìm GTLN, GTNN của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 2$trên đoạn$[0,2]$.

- Bước 1:$f'(x) = 3x^2 - 3$. Giải$3x^2-3=0 o x^2=1 o x=1$(nằm trong$[0,2]$).
- Bước 2: Tính$f(0) = 0^3 - 3<em>0 + 2 = 2$.
- Tính$f(1) = 1^3 - 3</em>1 + 2 = 0$.
- Tính$f(2) = 8 - 6 + 2 = 4$.
- So sánh: GTNN là $f(1)=0$, GTLN là $f(2)=4$.

- Bằng máy tính: Dùng TABLE nhập hàm$f(x)$, xem giá trị $f(0), f(1), f(2)$. Kết quả trùng khớp với giải tích.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu đạo hàm không giải được nghiệm (chứa lượng giác, mũ, log), máy tính hỗ trợ kiểm tra gần đúng.
- Một số hàm số không liên tục, khuyết điểm trong đoạn – cần chú ý điều kiện xác định.
- Nếu nghiệm ngoài khoảng, không ghi nhận vào bảng so sánh.

• Có trường hợp máy tính cho giá trị gần đúng (không chính xác tuyệt đối), cần so sánh và quy đổi ký hiệu nếu cần.
• Với bài toán chứng minh (chứng minh GTLN, GTNN tồn tại), vẫn cần lý thuyết giải tích kết hợp.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Tìm GTLN, GTNN liên quan trực tiếp đến đạo hàm, nghiên cứu hàm số, khảo sát sự biến thiên hàm số, đồ thị.
- Liên quan đến định lý giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (Weierstrass), định lý Fermat cho điểm cực trị.
- Ứng dụng trong thực tiễn: bài toán tối ưu, kinh tế, hình học không gian, vật lý.

$f(x)=x^3-3x^2+2$ trên đoạn [-1, 3], đánh dấu các điểm tới hạn (f'(x)=0 tại x=0 và x=2), giá trị của f(x) tại các điểm a, b và các điểm tới hạn, với điểm cực đại (GTLN) và cực tiểu (GTNN" title="Hình minh họa: Đồ thị hàm số $f(x)=x^3-3x^2+2$ trên đoạn [-1, 3], đánh dấu các điểm tới hạn (f'(x)=0 tại x=0 và x=2), giá trị của f(x) tại các điểm a, b và các điểm tới hạn, với điểm cực đại (GTLN) và cực tiểu (GTNN" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$trên đoạn$[0,2]$.

-$f'(x) = 6x^2 - 6x$
- Giải$6x^2-6x=0 o x(x-1)=0 o x=0, x=1$
- Tính$f(0)=1$,$f(1)=2-3+1=0$,$f(2)=16-12+1=5$
- So sánh: GTNN là $f(1)=0$, GTLN là $f(2)=5$
- Bằng máy tính: kiểm tra lại bằng TABLE hoặc CALC tại$x=0, x=1, x=2$
- Kết quả khớp: GTLN = 5, GTNN = 0.

Bài 2: Tìm GTLN, GTNN của$f(x) = x^4 - 4x^2 + 3$trên đoạn$[-2,3]$.

-$f'(x) = 4x^3 - 8x$
- Giải$4x^3 - 8x = 0 ightarrow 4x(x^2-2)=0 ightarrow x=0, x=ext{±}oot{2}$
-$x=oot{2} hickapprox 1.414$,$x=-oot{2} hickapprox -1.414$ đều nằm trong$[-2,3]$
- Tính$f(-2)=16-16+3=3$,$f(0)=0-0+3=3$,$f(1.414)hickapprox (1.414)^4-4*(1.414)^2+3 hickapprox 4-8+3=-1$
-$f(-1.414)hickapprox 4-8+3=-1$
-$f(3)=81-36+3=48$
- GTLN =$48$tại$x=3$, GTNN =$-1$tại$x=±oot{2}$.
- Dùng máy tính: kiểm tra các giá trị trên, kết quả tương tự.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Bỏ sót nghiệm của$f'(x)=0$nằm trong đoạn; giải sai đạo hàm.
• Tính nhầm giá trị tại các điểm đặc biệt.
• Không so sánh tất cả các giá trị tại điểm đầu, cuối và nghiệm trong đoạn.
• Nhập sai công thức vào máy tính – dẫn tới sai số.
• Chỉ sử dụng một phương pháp mà không kiểm tra chéo bằng phương pháp khác.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Tìm GTLN, GTNN là kiến thức trọng tâm giải tích lớp 12, có thể giải bằng đạo hàm hoặc máy tính.
- Luôn thực hiện đủ các bước: giải đạo hàm, xét các giá trị biên, kiểm tra nghiệm nằm trong đoạn.
- Sử dụng máy tính để kiểm tra lại kết quả, đặc biệt với những hàm số khó giải tích.
- Hiểu khi nào ưu tiên giải nhanh bằng máy tính và khi nào phải dùng giải tích hoặc kiểm chứng đối chiếu.
- Sự phối hợp giữa phương pháp giải tích với máy tính giúp nâng cao độ chính xác và an toàn khi làm bài thi.