Chiến lược giải bài toán sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất

Trong chương trình Toán 12, bài toán về xác suất thường xuất hiện với nhiều dạng khác nhau. Một trong những công cụ hữu ích nhất để hệ thống hóa thông tin và tính toán xác suất là sơ đồ cây. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài toán sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất một cách chi tiết và có hệ thống.

1. Giới thiệu về loại bài toán này và tại sao nó quan trọng

Bài toán xác suất sử dụng sơ đồ cây giúp học sinh dễ dàng quan sát các khả năng xảy ra của các sự kiện phức tạp. Thay vì liệt kê thủ công từng trường hợp, ta vẽ sơ đồ cây để phân nhánh và đánh dấu xác suất từng nhánh. Phương pháp này rất quan trọng vì:

- Giúp hệ thống hóa thông tin một cách trực quan.

- Giảm thiểu sai sót khi liệt kê các trường hợp.

- Dễ dàng tính xác suất của các tổ hợp sự kiện phức hợp như "và", "hoặc", "không xảy ra".

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

Trước khi vẽ sơ đồ cây, ta cần xác định rõ:

- Số giai đoạn (bước) trong thí nghiệm ngẫu nhiên.

- Mỗi giai đoạn có bao nhiêu khả năng xảy ra và xác suất tương ứng.

- Các sự kiện cần tính xác suất (độc lập, điều kiện, hay tổ hợp).

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải quyết bài toán xác suất với sơ đồ cây, ta thực hiện theo các bước chiến lược sau:

- Xác định rõ đề bài: nắm các giai đoạn, sự kiện cần tính.

- Vẽ sơ đồ cây từng bước, đánh dấu xác suất ở mỗi nhánh.

- Tính xác suất của mỗi đường đi (nhánh) bằng cách nhân xác suất dọc theo nhánh.

- Tổng hợp kết quả: cộng các xác suất của những nhánh thỏa mãn yêu cầu.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa

Cho hộp đựng 5 viên bi: 3 viên đỏ, 2 viên xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên, lần lượt không hoàn lại. Tính xác suất để:

a) Cả hai viên đều đỏ.

b) Có đúng một viên đỏ.

Bước 1: Xác định giai đoạn và sự kiện

Giai đoạn 1: Lấy viên đầu tiên; Giai đoạn 2: Lấy viên thứ hai không hoàn lại.

Bước 2: Vẽ sơ đồ cây và đánh dấu xác suất

Nhánh đầu tiên (giai đoạn 1):

- Lấy được viên đỏ: xác suất$\displaystyle\frac{3}{5}$

- Lấy được viên xanh: xác suất$\displaystyle\frac{2}{5}$

Nhánh thứ hai (giai đoạn 2), phân nhánh cho mỗi trường hợp giai đoạn 1:

1. Sau khi lấy đỏ (còn 2 đỏ, 2 xanh):

- Lấy đỏ tiếp: xác suất$\displaystyle\frac{2}{4}$

- Lấy xanh: xác suất$\displaystyle\frac{2}{4}$

2. Sau khi lấy xanh (còn 3 đỏ, 1 xanh):

- Lấy đỏ: xác suất$\displaystyle\frac{3}{4}$

- Lấy xanh: xác suất$\displaystyle\frac{1}{4}$

Bước 3: Tính xác suất từng nhánh

- Nhánh (đỏ, đỏ):$\displaystyle P = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$

- Nhánh (đỏ, xanh):$\displaystyle P = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$

- Nhánh (xanh, đỏ):$\displaystyle P = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10}$

- Nhánh (xanh, xanh):$\displaystyle P = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$

Bước 4: Tổng hợp kết quả

a) Xác suất cả hai viên đỏ = xác suất nhánh (đỏ, đỏ):$\displaystyle \frac{3}{10}$

b) Xác suất đúng một viên đỏ = nhánh (đỏ, xanh) + nhánh (xanh, đỏ) =$\displaystyle \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3}{5}$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Xác suất của nhánh:$P(A\,và\,B)=P(A) \times P(B\mid A)$

- Xác suất của tổ hợp sự kiện (hợp):$P(A\,hoặc\,B)=P(A)+P(B)-P(A\,và\,B)$

- Nếu các giai đoạn độc lập thì $P(A\,và\,B)=P(A) \times P(B)$

- Kỹ thuật rút gọn sơ đồ: gộp các nhánh có cùng xác suất cần tìm.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

a) Lấy có hoàn trả: ở mỗi giai đoạn, xác suất không đổi. Ví dụ:$P(đỏ) = \frac{3}{5}$luôn.

b) Nhiều giai đoạn hơn (lấy 3, 4 viên): vẽ sơ đồ nhiều lớp, áp dụng công thức nhân.

c) Xác suất có điều kiện phức tạp: dùng nhánh phụ với xác suất điều kiện.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Trong một túi có 4 viên bi: 2 đỏ, 2 xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên có hoàn trả giữa hai lần. Tính xác suất để có đúng một viên đỏ.

Giải:

Giai đoạn 1 và 2 độc lập, có hoàn trả nên xác suất mỗi giai đoạn không đổi:$P(đỏ)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,$P(xanh)=\frac{1}{2}$.

Sơ đồ cây:

- Nhánh (đỏ, xanh):$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

- Nhánh (xanh, đỏ):$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

Kết quả:$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.

8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

1. Hộp có 6 viên bi: 3 đỏ, 3 xanh. Lấy 2 viên không hoàn trả. Tính xác suất để có ít nhất một viên đỏ.

2. Xáo bộ bài 4 lá (A,2,3,4), rút 2 lá có hoàn trả. Tính xác suất để rút được quân Át ít nhất một lần.

3. Trong túi có 5 viên: 2 đỏ, 3 xanh. Lấy 3 viên không hoàn trả. Tính xác suất để đúng 2 viên đỏ.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

- Luôn ghi rõ giai đoạn và xác suất điều kiện khi không hoàn trả.

- Kiểm tra tổng xác suất các nhánh của một giai đoạn bằng 1.

- Khi có hoàn trả, xác suất mỗi giai đoạn giống hệt nhau.

- Đừng quên cộng xác suất của các nhánh độc lập khi tính xác suất của sự kiện "hoặc".

- Sử dụng LaTeX để trình bày công thức rõ ràng, tránh nhầm lẫn.

Chúc các em luyện tập hiệu quả và thành công với phương pháp sơ đồ cây trong tính toán xác suất!