Sử dụng Sơ Đồ Cây Để Tính Xác Suất: Giải Thích Chi Tiết Cho Học Sinh Lớp 12

I. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, xác suất là chủ đề quan trọng, giúp học sinh hiểu được cách phân tích các tình huống ngẫu nhiên. Một trong những phương pháp trực quan, hiệu quả để giải quyết các bài toán xác suất là dùng "sơ đồ cây". Sơ đồ cây không chỉ giúp bạn hình dung rõ ràng các trường hợp có thể xảy ra, mà còn hỗ trợ trong việc tính xác suất các biến cố một cách mạch lạc, tránh bỏ sót các trường hợp.

II. Định nghĩa khái niệm “sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất”

Sơ đồ cây là một biểu đồ dạng phân nhánh, mỗi nhánh ứng với một sự kiện hoặc một bước trong quá trình thử nghiệm. Dùng sơ đồ cây, ta liệt kê tất cả các khả năng có thể xảy ra trong một hoặc nhiều phép thử liên tiếp. Với mỗi nhánh, bạn gán xác suất tương ứng. Tổng các xác suất ở các lá (kết quả cuối cùng) sẽ là 1. Để tính xác suất của một biến cố, ta xác định các đường đi phù hợp (các nhánh dẫn tới biến cố đó) rồi cộng các tích xác suất tương ứng.

III. Hướng dẫn chi tiết cách sử dụng sơ đồ cây với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định số lần thử và các sự kiện ở mỗi bước

Bước 2: Vẽ sơ đồ cây, phân nhánh theo các sự kiện có thể của mỗi bước

Bước 3: Gắn xác suất cho mỗi nhánh

Bước 4: Xác định các nhánh cụ thể tương ứng với biến cố cần tính

Bước 5: Tính xác suất cho mỗi đường đi thuộc biến cố, cộng các tích lại.

Ví dụ minh họa

Ví dụ: Có một hộp chứa 2 bi đỏ và 1 bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên bi mà không hoàn lại. Tính xác suất để lấy được chính xác 1 bi đỏ.

Giải:
- Bước 1: Lần lấy thứ nhất, có thể lấy được bi đỏ (D) hoặc bi xanh (X)
- Bước 2: Lần lấy thứ hai tùy thuộc vào kết quả lần một

Vẽ sơ đồ cây:
- Gốc: Chưa lấy bi
- Nhánh 1: Lấy D (xác suất$P_1 = \frac{2}{3}$)
- Lấy tiếp D (xác suất$P_2 = \frac{1}{2}$)
- Lấy tiếp X (xác suất$P_2 = \frac{1}{2}$)
- Nhánh 2: Lấy X (xác suất$P_1 = \frac{1}{3}$)
- Lấy tiếp D (xác suất$P_2 = 1$)

Các kết quả cuối cùng và xác suất:
- D, D:$\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$
- D, X:$\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$
- X, D:$\frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}$

Biến cố lấy chính xác 1 bi đỏ có thể xảy ra theo 2 trường hợp: (D, X) và (X, D).

Vậy:

IV. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi sử dụng sơ đồ cây

V. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

VI. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

• Bài tập 1: Gieo 2 đồng xu. Tính xác suất xuất hiện đúng 1 mặt ngửa.

Lời giải:
- Đồng xu 1: Ngửa (N), Sấp (S),$P(N) = P(S) = \frac{1}{2}$
- Đồng xu 2: Ngửa (N), Sấp (S),$P(N) = P(S) = \frac{1}{2}$
Sơ đồ cây gồm 4 trường hợp:
- N, N:$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
- N, S:$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
- S, N:$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
- S, S:$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Biến cố đúng 1 mặt ngửa là (N,S) hoặc (S,N):

$P = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

• Bài tập 2: Trong hộp có 5 bi đỏ, 3 bi xanh. Lấy ra 2 viên liên tiếp không hoàn lại. Tính xác suất lấy ra 2 viên cùng màu.

Lời giải:
- Lấy bi đỏ đầu:$P_1 = \frac{5}{8}$
- Lấy tiếp bi đỏ:$P_2 = \frac{4}{7}$
- Lấy bi xanh đầu:$P_1 = \frac{3}{8}$
- Lấy tiếp bi xanh:$P_2 = \frac{2}{7}$

Xác suất cùng màu:
- Đỏ & Đỏ:$\frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56}$
- Xanh & Xanh:$\frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56}$
Cộng lại:$\frac{20}{56} + \frac{6}{56} = \frac{26}{56} = \frac{13}{28}$

VII. Các lỗi thường gặp và cách tránh

VIII. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ