Sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất: Phương pháp trực quan giúp giải nhanh bài toán xác suất lớp 12

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất là một phương pháp trực quan và hiệu quả, giúp học sinh lớp 12 giải quyết các bài toán xác suất nhiều bước một cách hệ thống. Sơ đồ cây biểu diễn các khả năng xảy ra của một biến cố thông qua các nhánh, cho phép bạn dễ hình dung, đếm số trường hợp, tính toán xác suất kết hợp khi thực hiện liên tiếp nhiều hành động (thí nghiệm). Phương pháp này đóng vai trò quan trọng trong chương VI – Xác suất có điều kiện, đặc biệt trong các bài toán về xác suất toàn phần và công thức Bayes.

• Việc hiểu rõ "Sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất" giúp tránh nhầm lẫn, biết cách tổ chức thông tin và giải nhanh các bài toán đánh lừa tư duy.
• Ứng dụng rộng rãi từ kiểm tra, thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi, đến thực tế (xác suất trúng thưởng, xác suất chọn đồ vật…).
• Truy cập hơn 42.226+ bài tập Sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất miễn phí để luyện tập và nâng cao kỹ năng.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Sơ đồ cây xác suất là một công cụ đồ họa biểu diễn các chuỗi sự kiện hoặc biến cố, mỗi nhánh ứng với một khả năng lựa chọn cùng xác suất đi kèm.
• Quy tắc nhân: Xác suất đi từ gốc đến một lá là tích các xác suất trên đường đi đó.
• Quy tắc cộng: Xác suất của một biến cố là tổng các xác suất của các trường hợp thuận lợi (các lá cùng mô tả biến cố đó).
• Điều kiện sử dụng: Áp dụng tốt khi các sự kiện xảy ra tuần tự hoặc các bước phụ thuộc nhau (thường có xác suất thay đổi sau mỗi bước).

2.2 Công thức và quy tắc cần nhớ

• Công thức xác suất toàn phần: Nếu $A_1, A_2, \ldots, A_n$là các biến cố phân hoạch không gian mẫu và $B$ là một biến cố bất kỳ, thì:
  $P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i) \cdot P(B|A_i)$
• Công thức Bayes: Dùng để tìm xác suất nguyên nhân khi biết kết quả:
  $P(A_k|B) = \frac{P(A_k) \cdot P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^n P(A_i) \cdot P(B|A_i)}$
• Cách ghi nhớ: Đọc kỹ các bước, biểu diễn từng hành động thành nhánh cây tương ứng; xác suất trên đường đi là tích các xác suất của từng nhánh.
• Biến thể: Có thể thêm các nhánh phụ cho trường hợp phụ, hoặc mở rộng cho nhiều bước liên tiếp.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho một hộp có 3 bi đỏ, 2 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi không hoàn lại. Tính xác suất cả hai bi lấy ra đều đỏ.

Bước 1: Vẽ sơ đồ cây cho 2 lần lấy:

• Lần thứ nhất: Chọn đỏ ($A_1$), xác suất$\frac{3}{5}$; chọn xanh ($A_2$), xác suất$\frac{2}{5}$.
• Nếu đã chọn đỏ: Lần hai còn 2 bi đỏ, 2 bi xanh:
  - Chọn đỏ: xác suất$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
  - Chọn xanh: xác suất$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
• Nếu đã chọn xanh: Lần hai còn 3 đỏ, 1 xanh:
  - Chọn đỏ: xác suất$\frac{3}{4}$
  - Chọn xanh: xác suất$\frac{1}{4}$

Bước 2: Xác suất lấy 2 bi đỏ là đi theo nhánh: Đỏ -> Đỏ

Lưu ý khi giải: Chọn đúng thứ tự, xác suất sau mỗi lần lấy phải cập nhật lại, chú ý "không hoàn lại".

3.2 Ví dụ nâng cao

Một hộp có 2 bi trắng, 2 bi xanh, 1 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi (không hoàn lại), tính xác suất:
a) 2 bi cùng màu
b) Lấy ít nhất 1 bi đỏ

a) Vẽ sơ đồ cây với các nhánh: Trắng – Trắng, Xanh – Xanh, Đỏ – Đỏ (nhưng chỉ có 1 bi đỏ, không thể lấy 2 đỏ). Chỉ còn 2 trường hợp khả thi là Trắng – Trắng hoặc Xanh – Xanh.

• Trắng – Trắng:$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.
• Xanh – Xanh:$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$.

Vậy xác suất lấy 2 bi cùng màu là $\frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{1}{5}$.

b) Ít nhất 1 bi đỏ:
- Có thể dùng sơ đồ cây hoặc cách bổ sung. Tổng số trường hợp:$C_5^2 = 10$.
- Trường hợp không có bi đỏ: Chọn 2 trong 4 bi (không kể đỏ), số cách$C_4^2 = 6$.
- Do đó, xác suất ít nhất 1 đỏ:$1 - \frac{6}{10} = \frac{2}{5}$.

Kỹ thuật giải nhanh: Khi đề bài hỏi xác suất “ít nhất”, nên nghĩ đến dùng phương pháp bổ sung để giảm số trường hợp phải xét.

4. Các trường hợp đặc biệt cần chú ý

• Các bước độc lập: Xác suất không thay đổi ở các nhánh kế tiếp.
• Các bước phụ thuộc (không hoàn lại): Phải cập nhật lại xác suất từng bước.
• Nhiều hơn 2 bước: Sơ đồ cây nhiều tầng, mỗi tầng tương ứng một hành động.
• Liên hệ với xác suất có điều kiện, xác suất toàn phần, công thức Bayes.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Hiểu sai về các nhánh, không cập nhật xác suất mỗi lần lấy.
• Nhầm lẫn giữa xác suất nghĩ là độc lập nhưng thực ra phụ thuộc (do lấy không hoàn lại).
• Cách phân biệt: Xem xem sau mỗi bước, tổng số phần tử có thay đổi không.

5.2 Lỗi về tính toán

• Quên nhân xác suất giữa các nhánh (quy tắc nhân).
• Tổng các xác suất không bằng 1, hoặc cộng thừa trường hợp.
• Phương pháp kiểm tra: Liệt kê toàn bộ các lá sơ đồ cây, cộng lại xác suất phải bằng 1.

6. Luyện tập miễn phí ngay

• Truy cập 42.226+ bài tập Sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất miễn phí, không cần đăng ký.
• Bắt đầu luyện tập ngay, làm online và xem đáp án chi tiết từng bước.
• Theo dõi tiến trình học tập, xác định kiến thức cần bổ sung để học hiệu quả hơn.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Nắm chắc bản chất sơ đồ cây và cách áp dụng quy tắc nhân, quy tắc cộng.
• Phân biệt trường hợp xác suất thay đổi (bước phụ thuộc) và không thay đổi (bước độc lập).
• Thuộc lòng công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes.
• Luôn kiểm tra tổng xác suất các nhánh sơ đồ cây phải bằng 1.

Checklist ngắn khi học:
- Đọc kỹ đề, xác định số bước (tầng) trong sơ đồ cây
- Kẻ sơ đồ cây, ghi xác suất từng nhánh rõ ràng
- Chỉ cộng các xác suất của trường hợp phù hợp yêu cầu đề
- Kiểm tra tổng xác suất các lá phải là 1

Hãy ôn luyện thường xuyên với bộ bài tập Sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất miễn phí để thật vững vàng kỹ năng trước kỳ thi!