Sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, xác suất là một chủ đề trọng tâm và có ý nghĩa thực tiễn rất lớn, đặc biệt trong các tình huống cần đánh giá khả năng xảy ra của các sự kiện trong cuộc sống. Sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất là một phương pháp hình ảnh giúp học sinh dễ dàng phân tích, tính toán các trường hợp phức tạp, giảm nhầm lẫn, đặc biệt là những bài toán có nhiều bước hoặc nhiều lựa chọn liên tiếp. Kỹ năng này còn giúp học sinh chuẩn bị tốt cho các kỳ thi THPT Quốc gia hoặc Olympic Toán học.

2. Định nghĩa chính xác về sử dụng sơ đồ cây trong tính xác suất

Sơ đồ cây là một biểu đồ dạng nhánh thể hiện các quá trình lựa chọn liên tiếp hoặc sự kiện xảy ra theo trình tự, với mỗi nhánh (cành) biểu thị một khả năng cụ thể cùng xác suất kèm theo. Sử dụng sơ đồ cây trong tính xác suất chính là việc minh họa các bước lựa chọn hoặc các sự kiện xảy ra tuần tự dưới dạng cây để từ đó dễ dàng xác định và tính được xác suất của các biến cố.

3. Các bước sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất - Ví dụ minh họa

Để ứng dụng sơ đồ cây trong tính xác suất, ta thường thực hiện các bước:

- Liệt kê các quá trình, các bước thực hiện hoặc các sự kiện xảy ra theo thứ tự.

- Với mỗi bước, vẽ các nhánh cây thể hiện các khả năng có thể xảy ra, ghi xác suất tương ứng trên từng nhánh.

- Xác định các đường đi (nhánh từ gốc đến lá) đại diện cho từng kết quả cụ thể.

- Tính xác suất các kết quả bằng cách nhân xác suất trên từng nhánh của đường đi.

- Tính xác suất biến cố cần tìm bằng cách cộng xác suất các đường đi phù hợp.

Ví dụ 1:

Một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi liên tiếp, sau mỗi lần lấy đều trả lại bi vào hộp (lấy có hoàn lại). Tính xác suất lần thứ nhất lấy được bi đỏ, lần thứ hai lấy được bi xanh.

• Bước 1: Vẽ sơ đồ cây cho hai lần lấy bi.
• Bước 2: Lần 1 có 2 khả năng:
- Lấy đỏ (R):$P_1(R) = \frac{3}{5}$
- Lấy xanh (X):$P_1(X) = \frac{2}{5}$
• Bước 3: Lần 2 cũng có hai khả năng:
- Nếu lần đầu đỏ, lần hai có thể lấy đỏ hoặc xanh:
+ Đỏ:$P_2(R|R) = \frac{3}{5}$
+ Xanh:$P_2(X|R) = \frac{2}{5}$
- Nếu lần đầu xanh, lần hai cũng tương tự...
• Bước 4: Đường đi cần quan tâm là: Lần đầu đỏ, lần hai xanh.

Xác suất đường đi đó:

$P = P_1(R) \times P_2(X|R) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{25}$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng sơ đồ cây

- Trường hợp lấy có hoàn lại và không hoàn lại: Các xác suất ở bước sau có thể thay đổi tùy cách lấy.
- Khi các bước không độc lập: Xác suất trên các nhánh cần chú ý là xác suất có điều kiện.
- Tránh vẽ thiếu hoặc nhầm nhánh, ghi sai xác suất trên nhánh.
- Nếu sự kiện cần tìm có thể xảy ra ở nhiều đường đi khác nhau, phải cộng xác suất các đường đi đó.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Sử dụng sơ đồ cây liên quan chặt chẽ đến:
- Xác suất có điều kiện: $P(A|B)$– xác suất A xảy ra khi B đã xảy ra, thể hiện rõ ở từng nhánh cây.
- Công thức xác suất toàn phần:
$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i) <br />- Công thức Bayes:<br />$P(A_k|B) = \frac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i)}$
Sơ đồ cây minh họa rõ các mối liên hệ này.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1:
Một đề kiểm tra có hai phần, mỗi phần học sinh trả lời đúng hoặc sai. Xác suất trả lời đúng phần 1 là $0,7$, nếu đúng phần 1 thì xác suất đúng phần 2 là $0,8$, nếu sai phần 1 thì xác suất đúng phần 2 là $0,6$. Tính xác suất để học sinh đó trả lời đúng cả hai phần.

• Bước 1: Vẽ sơ đồ cây với 2 nhánh đầu (phần 1: đúng – sai) và mỗi nhánh 2 nhánh nhỏ (phần 2: đúng – sai).
• Bước 2: Xác suất đúng cả hai phần là
$P = 0,7 \times 0,8 = 0,56.$

Bài tập 2:
Một hộp có 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên đồng thời (không hoàn lại). Tính xác suất lấy được 1 viên đỏ và 1 viên xanh.

• Các trường hợp: lấy đỏ trước – xanh sau và xanh trước – đỏ sau (do lấy cùng lúc, hai trường hợp là một).
• Tổng cách chọn:$C^2_8 = 28$.
• Số cách lấy 1 đỏ, 1 xanh:$5 \times 3 = 15$.
• Xác suất:$P = \frac{15}{28}.$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Vẽ thiếu hoặc thừa nhánh trong sơ đồ cây.

- Ghi sai xác suất trên nhánh (đặc biệt với lấy không hoàn lại, xác suất thay đổi!).

- Không cộng đủ xác suất các đường đi phù hợp với biến cố.

- Nhầm xác suất có điều kiện với xác suất không điều kiện.

- Không kiểm tra tổng xác suất các nhánh con xuất phát từ một nhánh mẹ phải bằng 1.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Sơ đồ cây giúp minh họa trực quan các khả năng xảy ra liên tiếp, rất hữu ích với các bài toán xác suất có nhiều bước.
- Xác suất đường đi từ gốc đến lá là tích các xác suất trên nhánh đó.
- Để tính xác suất một biến cố, cộng xác suất các đường đi phù hợp.
- Luôn chú ý sự khác biệt giữa lấy có hoàn lại và không hoàn lại (xác suất trên nhánh khác nhau).
- Sử dụng linh hoạt sơ đồ cây trong các bài toán áp dụng công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.

Bằng cách luyện tập sử dụng sơ đồ cây, học sinh không chỉ giải nhanh, chính xác các bài toán xác suất lớp 12 mà còn phát triển tư duy logic, hệ thống – kỹ năng cần thiết cho mọi lĩnh vực khoa học.

Chúc các em học tốt và đạt điểm cao trong các kỳ thi!