Thống kê mô tả – Khái niệm, ví dụ, bài tập cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về thống kê mô tả và tầm quan trọng trong toán học

Thống kê mô tả là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 và có ứng dụng rộng rãi trong thực tế. Học thống kê mô tả giúp học sinh biết cách tóm tắt, trình bày và phân tích dữ liệu, từ đó hiểu được bản chất, xu hướng của một tập hợp số liệu. Đây là nền tảng cho nhiều lĩnh vực như kinh tế, y học, xã hội học... và là bước cơ bản trước khi tiếp cận các khái niệm nâng cao hơn như xác suất hoặc thống kê suy luận.

2. Định nghĩa chính xác về thống kê mô tả

Thống kê mô tả là tập hợp các phương pháp dùng để thu thập, trình bày, xử lý và phân tích một tập dữ liệu để mô tả các đặc trưng cơ bản (trung tâm, độ phân tán, phân phối) của dữ liệu đó. Các đại lượng thường gặp gồm: số trung bình, trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn, bảng tần số, biểu đồ,...

3. Các bước thực hiện thống kê mô tả kèm ví dụ minh họa

3.1. Thu thập dữ liệu

Dữ liệu có thể thu thập từ khảo sát, thực nghiệm, đo đạc,... hoặc lấy từ các nguồn có sẵn.

3.2. Sắp xếp và trình bày dữ liệu

Với tập dữ liệu nhỏ, ta có thể liệt kê trực tiếp. Với dữ liệu lớn, nên sử dụng bảng tần số, phân lớp dữ liệu hoặc biểu đồ (cột, tròn, đoạn thẳng...).

3.3. Tính các đại lượng thống kê mô tả

Dưới đây là các đại lượng thống kê mô tả cơ bản với cách tính và ví dụ.

a) Số trung bình (Trung bình cộng)

Nếu dữ liệu gồm$n$giá trị $x_1, x_2,...,x_n$, số trung bình là:

Ví dụ: Dữ liệu điểm toán của 5 bạn: 7, 8, 7.5, 6, 9.

Khi đó: $\bar{x} = \frac{7 + 8 + 7.5 + 6 + 9}{5} = \frac{37.5}{5} = 7.5$

b) Trung vị (Median)

Trung vị là giá trị nằm ở giữa khi dữ liệu được sắp xếp theo thứ tự tăng/giảm. Nếu số lượng giá trị lẻ, trung vị là giá trị chính giữa; nếu là số chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa.

Ví dụ: Sắp xếp 5 điểm: 6, 7, 7.5, 8, 9. Trung vị là $7.5$.

c) Mốt (Mode)

Mốt là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong tập dữ liệu.

Ví dụ: Dữ liệu: 7, 8, 7.5, 7, 9. Mốt là 7 (xuất hiện 2 lần).

d) Độ lệch chuẩn, phương sai

Phương sai ($\sigma^2$) đo mức độ phân tán dữ liệu quanh giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn ($\sigma$) là căn bậc hai của phương sai.

Ví dụ với tập dữ liệu trên, tính phương sai và độ lệch chuẩn:

- Số trung bình:$7.5$

- Các giá trị lệch bình phương:$(7-7.5)^2 = 0.25$,$(8-7.5)^2 = 0.25$,$(7.5-7.5)^2 = 0$,$(6-7.5)^2 = 2.25$,$(9-7.5)^2 = 2.25$.

- Tổng:$0.25 + 0.25 + 0 + 2.25 + 2.25 = 5$

- Phương sai:$\frac{5}{5} = 1$

- Độ lệch chuẩn: $\sqrt{1} = 1$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Khi dữ liệu có giá trị ngoại lai (outlier) lớn/nhỏ bất thường, số trung bình có thể bị ảnh hưởng mạnh. Trung vị hoặc mốt sẽ phản ánh chính xác xu hướng hơn.

- Mỗi dạng dữ liệu (số, dạng rời rạc, dạng phân lớp) sẽ có cách trình bày, biểu diễn khác nhau. Cần chọn đại lượng thống kê mô tả phù hợp loại dữ liệu.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Thống kê mô tả liên kết chặt chẽ với:

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho dãy số: 4, 5, 7, 8, 6, 5, 7, 9, 4, 6.

a) Tính số trung bình, trung vị, mốt.

b) Tính phương sai, độ lệch chuẩn.

Lời giải:

a) Tổng:$4+5+7+8+6+5+7+9+4+6 = 61$.

$\Rightarrow$Số trung bình:$\bar{x} = \frac{61}{10} = 6.1$

Sắp xếp: 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9.

Trung vị: Trung bình hai số ở vị trí 5 và 6:$(6 + 6)/2 = 6$.

Mốt: 4, 5, 6, 7 đều xuất hiện 2 lần → Dãy số có nhiều mốt.

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn:

Các giá trị lệch bình phương so với$6.1$:

Tổng:$4.41 + 4.41 + 1.21 + 1.21 + 0.01 + 0.01 + 0.81 + 0.81 + 3.61 + 8.41 = 24.89$

Phương sai: $\sigma^2 = \frac{24.89}{10} = 2.489$

Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt{2.489} \approx 1.58$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt các điểm chính cần nhớ